Для решения дифференциальных уравнений необходимо знать значение зависимой переменной и ее производных при некоторых значениях независимой переменной. Если дополнительные условия задаются при одном значении неизвестной, т.е. независимой переменной., то такая задача называется задачей Коши. Если начальные условия задаются при двух или более значениях независимой переменной, то задача называется краевой. При решении дифференциальных уравнений различных видов, функция, значения которой требуется определить вычисляется в виде таблицы.

Классификация численных методов для решения дифр. Ур. Типов.

Задача Коши – одношаговые: методы Эйлера, методы Рунге- Кутта; – многошаговые: метод Майна, Метод Адамса. Кроевая задача – метод сведения кроевой задачи к задаче Коши; –метод конечных разностей.

При решении задачи Коши должны быть заданы дифр. ур. порядка n или система дифр. ур. первого порядка из n уравнений и n дополнительных условий для ее решения. Дополнительные условия должны быть заданы при одном и том же значении независимой переменной. При решении кроевой задачи должны быть заданы ур. n-ого порядка или система из n уравнений и n дополнительных условий при двух или более значениях независимой переменной. При решении задачи Коши искомая функция определяется дискретно в виде таблицы с некоторым заданным шагом . При определении каждого очередного значения можно использовать информацию об одной предыдущей точке. В этом случае методы называют одношаговым, либо можно использовать информацию о нескольких предыдущих точках – многошаговые методы.

Обыкновенные дифференциальные ур. Задача Коши. Одношаговые методы. Метод Эйлера.

Задано: g(x,y)y+h(x,y)=0, y=-h(x,y)/g(x,y)= f(x,y), x 0 , y(x 0)=y 0 . Известно: f(x,y), x 0 , y 0 . Определить дискретное решение: x i , y i , i=0,1,…,n. Метод Эйлера основан на разложении функции в ряд Тейлора окрестности точки x 0 . Окрестность описывается шагом h. y(x 0 +h)y(x 0)+hy(x­ 0)+…+ (1). В методе Эйлера учитываются только два слагаемых ряда Тейлора. Введем обозначения. Формула Эйлера примет вид: y i+1 =y i +y i , y i =hy(x i)=hf(x i ,y i), y i+1 =y i +hf(x i ,y i) (2), i=0,1,2…, x i+1 =x i +h

Формула (2) является формулой простого метода Эйлера.

Геометрическая интерпретация формулы Эйлера

Для получения численного решения используется ф-ла касательной, проходящей через урав. касательной: y=y(x 0)+y(x 0)(x-x ­0), x=x 1 ,

y 1 =y(x 0)+f(x 0 ,y 0)  (x-x 0), т.к.

x-x 0 =h, то y 1 =y 0 +hf(x 0 ,y 0), f(x 0 ,y 0)=tg £.

Модифицированный метод Эйлера

Задано: y=f(x,y), y(x 0)=y 0 . Известно: f(x,y), x 0 , y 0 . Определить: зависимость y от x в виде табличной дискретной функции: x i , y i , i=0,1,…,n.

Геометрическая интерпертация

1) вычислим тангенс угла наклона в начальной точке

tg £=y(x n ,y n)=f(x n ,y n)

2) Вычислим значение  y n+1 на

конце шага по формуле Эйлера

 y n+1 =y n +f(x n ,y n) 3) Вычислим тангенс угла наклона

касательной в n+1 точке: tg £=y(x n+1 ,  y n+1)=f(x n+1 ,  y n+1) 4) Вычислим среднее арифметическое углов

наклона: tg £=½. 5) Используя тангенс угла наклона пересчитаем значение функции в n+1 точке: y n+1 =y n +htg £= y n +½h=y n +½h – формула модифицированного метода Эйлера. Можно показать, что полученная ф-ла соответствует разложению ф-ии в ряд Тейлора, включая слагаемы (до h 2). Модифицированный метод Эйлнра в отличии от простого является методом вторго порядка точности, т.к. погрешность пропорциональна h 2 .

Основные вопросы, рассматриваемые на лекции:

1. Постановка задачи

2. Метод Эйлера

3. Методы Рунге-Кутта

4. Многошаговые методы

5. Решение краевой задачи для линейного дифференциального уравнения 2 порядка

6. Численное решение дифференциальных уравнений в частных производных

1. Постановка задачи

Простейшим обыкновенным дифференциальным уравнением (ОДУ) является уравнение первого порядка, разрешённое относительно производной: y " = f (x, y) (1). Основная задача, связанная с этим уравнением известна как задача Коши: найти решение уравнения (1) в виде функции y (x), удовлетворяющей начальному условию: y (x0) = y0 (2).
ДУ n-ого порядка y (n) = f (x, y, y",:, y(n-1)), для которого задача Коши состоит в нахождении решения y = y(x), удовлетворяющего начальным условиям:
y (x0) = y0 , y" (x0) = y"0 , :, y(n-1)(x0) = y(n-1)0 , где y0 , y"0 , :, y(n-1)0 - заданные числа, можно свести к системе ДУ первого порядка.

· Метод Эйлера

В основе метода Эйлера лежит идея графического построения решения ДУ, однако этот же метод даёт одновременно и численную форму искомой функции. Пусть дано уравнение (1) с начальным условием (2).
Получение таблицы значений искомой функции y (x) по методу Эйлера заключается в циклическом применении формулы: , i = 0, 1, :, n. Для геометрического построения ломаной Эйлера (см. рис.) выберем полюс A(-1,0) и на оси ординат отложим отрезок PL=f(x0 , y0) (точка P - это начало координат). Очевидно, что угловой коэффициент луча AL будет равен f(x0 , y0), поэтому чтобы получить первое звено ломаной Эйлера достаточно из точки М провести прямую MM1 параллельно лучу AL до пересечения с прямой х = х1 в некоторой точке М1(х1, у1). Приняв точку М1(х1, у1) за исходную откладываем на оси Оу отрезок PN = f (x1, y1) и через точку М1 проводим прямую М1М2 | | AN до пересечения в точке М2(х2, у2) с прямой х = х2 и т.д.

Недостатки метода: малая точность, систематическое накопление ошибок.

· Методы Рунге-Кутта

Основная идея метода: вместо использования в рабочих формулах частных производных функции f (x, y) использовать лишь саму эту функцию, но на каждом шаге вычислять её значения в нескольких точках. Для этого будем искать решение уравнения (1) в виде:


Меняя α, β, r, q, будем получать различные варианты методов Рунге-Кутта.
При q=1 получаем формулу Эйлера.
При q=2 и r1=r2=½ получаем, что α, β= 1 и, следовательно, имеем формулу: , которая называется усовершенствованный метод Эйлера-Коши.
При q=2 и r1=0, r2=1 получаем, что α, β = ½ и, следовательно, имеем формулу: - второй усовершенствованный метод Эйлера-Коши.
При q=3 и q=4 также существуют целые семейства формул Рунге-Кутта. На практике они применяются наиболее часто, т.к. не наращивают ошибок.
Рассмотрим схему решения дифференциального уравнения методом Рунге-Кутта 4 порядка точности. Расчёты при использовании этого метода ведутся по формулам:

Их удобно вносить в следующую таблицу:

· Многошаговые методы

Рассмотренные выше методы - это так называемые методы пошагового интегрирования дифференциального уравнения. Они характерны тем, что значение решения на следующем шаге ищется с использованием решения, полученного лишь на одном предыдущем шаге. Это так называемые одношаговые методы.
Основная идея же многошаговых методов заключается в использовании при вычислении значения решения на следующем шаге нескольких предыдущих значений решения. Также эти методы носят название m-шаговых по числу m используемых для расчётов предыдущих значений решения.
В общем случае для определения приближённого решения yi+1 m-шаговые разностные схемы записываются таким образом (m 1):
Рассмотрим конкретные формулы, реализующие простейшие явный и неявный методы Адамса.

Явный метод Адамса 2 порядка (2-шаговый явный метод Адамса)

Имеем a0 = 0, m = 2.
Таким образом, - расчётные формулы явного метода Адамса 2-ого порядка.
При i = 1 имеем неизвестное y1, которое будем находить по методу Рунге-Кутта при q = 2 илиq = 4.
При i = 2, 3, : все необходимые значения известны.

Неявный метод Адамса 1 порядка

Имеем: a0 0, m = 1.
Таким образом, - расчётные формулы неявного метода Адамса 1-ого порядка.
Основная проблема неявных схем заключается в следующем: yi+1 входит и в правую и в левую часть представленного равенства, поэтому имеем уравнение для поиска значения yi+1. Данное уравнение является нелинейным и записано в форме, подходящей для итерационного решения, поэтому будем использовать метод простой итерации для его решения:
Если шаг h выбран удачно, то итерационный процесс быстро сходится.
Данный метод также не является самостартующимся. Так для вычисления y1 надо знать y1(0). Его можно найти по методу Эйлера.

Рассматриваем только решение задачи Коши. Система дифференциальных уравнений или одно уравнение должны быть преобразованы к виду

где ,
–n -мерные векторы; y – неизвестная вектор-функция; x – независимый аргумент,
. В частности, еслиn = 1, то система превращается в одно дифференциальное уравнение. Начальные условия задаются следующим образом:
, где
.

Если
в окрестности точки
непрерывна и имеет непрерывные частные производные поy , то теорема существования и единственности гарантирует, что существует и при том только одна непрерывная вектор-функция
, определенная внекоторой окрестности точки , удовлетворяющая уравнению (7) и условию
.

Обратим внимание на то, что окрестность точки , где определено решение, может быть весьма малой. При подходе к границе этой окрестности решение может уходить в бесконечность, колебаться, с неограниченно увеличивающейся частотой, в общем, вести себя настолько плохо, что оно не может быть продолжено за границу окрестности. Соответственно, такое решение не может быть отслежено численными методами на большем отрезке, если таковой задан в условии задачи.

Решением задачи Коши на [a ; b ] является функция. В численных методах функция заменяется таблицей (табл. 1) .

Таблица 1

Здесь
,
. Расстояние между соседними узлами таблицы, как правило, берется постоянным:
,
.

Бывают таблицы и с переменным шагом. Шаг таблицы определяется требованиями инженерной задачи и не связан с точностью нахождения решения.

Еслиy – вектор, то таблица значений решения примет вид табл. 2.

Таблица2

В системе MATHCAD вместо таблицы используется матрица, причем она является транспонированной по отношению к указанной таблице.

Решить задачу Коши с точностью ε означает получить в указанной таблице значения (числа или векторы),
, такие, что
, где
– точное решение. Возможен вариант, когда решение на отрезок, заданный в задаче, не продолжается. Тогда нужно ответить, что на всем отрезке задача не может быть решена, и нужно получить решение на отрезке, где оно существует, сделав этот отрезок по возможности больше.

Следует помнить, что точное решение
нам не известно (иначе зачем применять численный метод?). Оценка
должна быть обоснована из каких-то других соображений. Как правило, стопроцентной гарантии, что оценка выполняется, получить не удается. Поэтому используются алгоритмы оценки величины
, которые оказываются эффективными в большинстве инженерных задач.

Общий принцип решения задачи Коши следующий. Отрезок [a ; b ] разбивается на ряд отрезков узлами интегрирования . Число узловk не обязано совпадать с числом узлов m итоговой таблицы значений решений (табл.1,2). Как правило, k > m . Для простоты расстояние между узлами будем считать постоянным,
;h называется шагом интегрирования. Затем, по определенным алгоритмам, зная значения приi < s , вычисляем значение . Чем меньше шагh , тем меньше значение будет отличаться от значения точного решения
. Шагh в этом разбиении уже определяется не по требованиям инженерной задачи, а по требуемой точности решения задачи Коши. Кроме того, он должен выбираться так, чтобы на одном шаге табл. 1, 2 укладывалось целое число шагов h . В этом случае значения y , полученные в результате счета с шагом h в точках
, используются соответственно в табл. 1 или 2.

Простейшим алгоритмом решения задачи Коши для уравнения (7) является метод Эйлера. Формула расчета такова:

(8)

Посмотрим, как оценивается точность находимого решения. Предположим, что
– точное решение задачи Коши, а также, что
, хотя это почти всегда не так. Тогда, где константаC зависит от функции
в окрестности точки
. Таким образом, на одном шаге интегрирования (нахождения решения) мы получаем ошибку порядка. Так как шагов приходится сделать
, то естественно ожидать, что суммарная ошибка в последней точке
будет порядка
, т.е. порядкаh . Поэтому метод Эйлера называют методом первого порядка, т.е. ошибка имеет порядок первой степени шага h . В действительности же на одном шаге интегрирования можно обосновать следующую оценку. Пусть
– точное решение задачи Коши с начальным условием
. Ясно, что
не совпадает с искомым точным решением
исходной задачи Коши уравнения (7). Однако при малыхh и «хорошей» функции
эти два точных решения будут отличаться мало. Формула остаточного члена формулы Тейлора гарантирует, что
, это и дает ошибку шага интегрирования. Итоговая ошибка складывается не только из ошибок на каждом шаге интегрирования, но и из отклонений искомого точного решения
от точных решений
,
, причем эти отклонения могут становиться очень большими. Однако итоговая оценка ошибки в методе Эйлера при «хорошей» функции
все равно имеет вид
,
.

При применении метода Эйлера счет идет следующим образом. По заданной точности ε определяем ориентировочно шаг
. Определяем число шагов
и снова ориентировочно выбираем шаг
. Затем опять корректируем его в сторону уменьшения, чтобы на каждом шаге табл. 1 или 2 укладывалось целое число шагов интегрирования. Получаем шагh . По формуле (8), зная и, находим. По найденному значениюи
находими так далее.

Полученный результат может не иметь желаемой точности, и, как правило, не будет ее иметь. Поэтому уменьшаем шаг в два раза и снова применяем метод Эйлера. Сравниваем результаты первого применения метода и второго в одинаковых точках . Если все расхождения меньше заданной точности, то можно считать последний результат счета ответом к задаче. Если нет, то шаг снова уменьшаем вдвое и еще раз применяем метод Эйлера. Теперь сравниваем результаты последнего и предпоследнего применения метода и т.д.

Метод Эйлера применяется сравнительно редко из-за того, что для достижения заданной точности ε требуется выполнить большое число шагов, имеющее порядок
. Однако если
имеет разрывы или разрывные производные, то методы более высоких порядков будут давать такую же ошибку, как и метод Эйлера. То есть потребуется такой же объем вычислений, как и в методе Эйлера.

Из методов более высоких порядков чаще других используется метод Рунге – Кутты четвертого порядка. В нем вычисления ведутся по формулам

Этот метод при наличии непрерывных четвертых производных у функции
дает ошибку на одном шаге порядка, т.е. в обозначениях, введенных выше,
. В целом на отрезке интегрирования при условии, что точное решение определено на этом отрезке, ошибка интегрирования будет иметь порядок.

Выбор шага интегрирования происходит так же, как было описано в методе Эйлера, за исключением того, что первоначально ориентировочное значение шага выбирается из соотношения
, т.е.
.

В большей части программ, применяемых для решения дифференциальных уравнений, используется автоматический выбор шага. Суть его такова. Пусть уже вычислено значение . Вычисляется значение
с шагомh , выбранном при вычислении . Затем выполняются два шага интегрирования с шагом, т.е. добавляется лишний узел
в середине между узламии
. Вычисляются два значения
и
в узлах
и
. Вычисляется величина
, гдеp – порядок метода. Если δ меньше точности, заданной пользователем, то полагают
. Если нет, то выбирают новый шагh равным и повторяют проверку точности. Если же при первой проверкеδ много меньше заданной точности, то делается попытка увеличить шаг. Для этого вычисляется
в узле
с шагомh из узла
и вычисляется
с шагом 2h из узла . Вычисляется величина
. Еслименьше заданной точности, то шаг 2h считается приемлемым. В этом случае назначают новый шаг
,
,
. Еслибольше точности, то шаг оставляют прежним.

Нужно учесть, что программы с автоматическим выбором шага интегрирования добиваются достижения заданной точности лишь при выполнении одного шага. Это происходит за счет точности аппроксимации решения, проходящего через точку
, т.е. аппроксимации решения
. Такие программы не учитывают, насколько решение
отличается от искомого решения
. Поэтому нет гарантии, что на всем отрезке интегрирования заданная точность будет достигнута.

Описанные методы Эйлера и Рунге – Кутты относятся к группе одношаговых методов. Это означает, что для вычисления
в точке
достаточно знать значениев узле. Естественно ожидать, что если используется больше информации о решении, учитываются несколько предыдущих его значений
,
и т.д., то новое значение
можно будет найти точнее. Такая стратегия используется в многошаговых методах. Для их описания введем обозначение
.

Представителями многошаговых методов служат методы Адамса – Башфорта:

Метод k -го порядка дает локальную погрешность порядка
или глобальную – порядка.

Указанные методы относятся к группе экстраполяционных, т.е. новое значение явно выражается через предыдущие. Другой тип – интерполяционные методы. В них на каждом шаге приходится решать нелинейное уравнение относительно нового значения . В качестве примера возьмем методы Адамса –Моултона:

Для применения этих методов в начале счета нужно знать несколько значений
(их число зависит от порядка метода). Эти значения нужно получить другими методами, например методом Рунге – Кутты с маленьким шагом (для повышения точности). Интерполяционные методы во многих случаях оказываются более устойчивыми и позволяют делать бόльшие шаги, чем экстраполяционные.

Чтобы не решать в интерполяционных методах нелинейное уравнение на каждом шаге, применяют предиктор-корректорные методы Адамса. Суть заключается в том, что сначала применяется на шаге экстраполяционный метод и полученное значение
подставляется в правую часть интерполяционного метода. Например, в методе второго порядка

Введение

При решении научных и инженерно-технических задач часто бывает необходимо математически описать какую-либо динамическую систему. Лучше всего это делать в виде дифференциальных уравнений (ДУ ) или системы дифференциальных уравнений. Наиболее часто они такая задача возникает при решении проблем, связанных с моделированием кинетики химических реакций и различных явлений переноса (тепла, массы, импульса) – теплообмена, перемешивания, сушки, адсорбции, при описании движения макро- и микрочастиц.

В ряде случаев дифференциальное уравнение можно преобразовать к виду, в котором старшая производная выражена в явном виде. Такая форма записи называется уравнением, разрешенным относительно старшей производной (при этом в правой части уравнения старшая производная отсутствует):

Решением обыкновенного дифференциального уравнения называется такая функция y(x), которая при любых х удовлетворяет этому уравнению в определенном конечном или бесконечном интервале. Процесс решения дифференциального уравнения называют интегрированием дифференциального уравнения.

Исторически первым и наиболее простым способом численного решения задачи Коши дляОДУ первого порядка является метод Эйлера. В его основе лежит аппроксимация производной отношением конечных приращений зависимой (y) и независимой (x) переменных между узлами равномерной сетки:

где y i+1 это искомое значение функции в точке x i+1 .

Точность метода Эйлера можно повысить, если воспользоваться для аппроксимации интеграла более точной формулой интегрирования –формулой трапеций .

Данная формула оказывается неявной относительно y i+1 (это значение есть и в левой и в правой части выражения), то есть является уравнением относительно y i+1 , решать которое можно, например, численно, применяя какой-либо итерационный метод (в таком виде его можно рассматривать как итерационную формула метода простой итерации).

Состав курсовой работы: Курсовая работа состоит из трех частей. В первой части краткое описание методов. Во второй части постановка и решение задачи. В третьей части – программная реализация на языке ЭВМ

Цель курсовой работы: изучить два метода решения дифференциальных уравнений-метод Эйлера-Коши и усовершенствованный методЭйлера.

1. Теоретическая часть

Численное дифференцирование

Дифференциальным называется уравнение, содержащее один или несколько производных. В зависимости от количества не зависимых переменных, дифференциальные уравнения делятся на две категории.

Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ)

Дифференциальные уравнения в частных производных.

Обыкновенными дифференциальными уравнениями называются такие уравнения, которые содержат одну или несколько производных от искомой функции . Их можно записать виде

независимая переменная

Наивысший порядок , входящий в уравнение (1) называется порядком дифференциального уравнения.

Простейшим (линейным) ОДУ является уравнение (1) порядка разрешенное относительно производной

Решением дифференциального уравнения (1) называется всякая функция,которая после ее подстановки в уравнение обращает его в тождество.

Основная задача, связанная с линейной ОДУ известно как задача Каши:

Найти решение уравнения (2) в виде функции удовлетворяющий начальному условию (3)

Геометрически это означает, что требуется найти интегральную кривую, проходящую через точку ) при выполнение равенства (2).

Численный с точки зрения задачи Каши означает: требуется построить таблицу значений функции удовлетворяющий уравнение (2) и начальное условие (3) на отрезке с некоторым шагом . Обычно считается, что то есть начальное условие задано в левом конце отрезка.

Простейшим из численных методов решения дифференциального уравнения является метод Эйлера. В его основе лежит идея графического построения решения дифференциального уравнения, однако этот метод дает одновременно и способ нахождения искомой функции в численной форме или таблицы.

Пусть дано уравнение (2) с начальным условием тоесть поставлена задача Каши. Решим вначале следующую задачу. Найти простейшим способом приближенное значение решения в некоторой точке где -достаточно малый шаг. Уравнение (2) совместно с начальным условием (3) задают направление касательной искомой интегральной кривой в точке с координатами

Уравнение касательной имеет вид

Двигаясь вдоль этой касательной, получим приближенное значение решения в точке :

Располагая приближенным решением в точке можно повторить описанную ранее процедуру: построить прямую проходящую через эту точку с угловым коэффициентом , и по ней найти приближенное значение решения в точке

. Заметим, что эта прямая не является касательной к реальной интегральной кривой, поскольку точка нам не доступна, однако если достаточно мало то получаемые приближенные будут близки к точным значениям решения.

Продолжая эту идею, построим систему равно отстоящих точек

Получение таблицы значений искомой функции

по методу Эйлера заключается в циклическом применение формулы

Рисунок 1. Графическая интерпретация метода Эйлера

Методы численного интегрирования дифференциальных уравнений, в которых решения получаются от одного узла к другому, называются пошаговыми. Метод Эйлера самый простой представитель пошаговых методов. Особенностью любого пошагового метода является то, что начиная со второго шага исходное значение в формуле (5) само является приближенным, то есть погрешность на каждом следующем шаге систематически возрастает. Наиболее используемым методом оценки точности пошаговых методов приближенного численного решения ОДУ является способ двойного прохождения заданного отрезка с шагом и с шагом

1.1 Усовершенствованный метод Эйлера

Основная идея этого метода: вычисляемое по формуле (5) очередное значение будет точнее, если значение производной, то есть угловой коэффициент прямой замещающей интегральную кривую на отрезке будет вычисляться не по левому краю (то есть в точке ), а по центру отрезка . Но так как значение производной между точками не вычисляется, то перейдем к сдвоенным участкам центром, в которых является точка , при этом уравнение прямой получает вид:

А формула (5) получает вид

Формула (7) применена только для , следовательно, значения по ней получить нельзя, поэтому находят по методу Эйлера, при этом для получения более точного результата поступают так: с начало по формуле (5) находят значение

(8)

В точке а затем находится по формуле (7) с шагом

(9)

После того как найдено дальнейшие вычисления при производится по формуле (7)