Н а этой странице собраны теоремы планиметрии, которые репетитор по математике может использовать в подготовке способного ученика к серьезному экзамену: олимпиаде или экзамену в МГУ (в подготовке на Мехмат МГУ, ВМК), к олимпиаде в Высшей Школе Экономики, к олимпиаде в Финансовой Академии и в МФТИ. Знание этих фактов открывает перед репетитором большие возможности по составлению конкурсных задач. Достаточно «обыграть» какую-нибудь упомянутую теорему на числах или дополнить ее элементы несложными взаимосвязями с другими математическими объектами, и получится вполне приличная олимпиадная задачка. Многие свойства присутствуют в сильных школьных учебниках в качестве задач на доказательство и специально не выносятся в заголовки и разделы параграфов. Я постарался исправить этот недостаток.

Математика — необъятный предмет, а количество фактов, которые можно выделять как теоремы — бесконечно. Репетитор по математике не может физически знать и помнить все. Поэтому какие-то хитрые взаимосвязи между геометрическими объектами каждый раз открываются преподавателю заново. Собрать все их на одной странице сразу — невозможно физически. Поэтому я буду заполнять страницу постепенно, по мере использования теорем на своих уроках.

Советую начинающим репетиторам по математике быть осторожнее в использовании дополнительных справочных материалов, поскольку большинство этих фактов школьники не знают.

Репетитор по математике о свойствах геометрических фигур

1) Серединный перпендикуляр к стороне треугольника пересекается с биссектрисой противоположного ей угла на окружности, описанной около данного треугольника. Это следует из равенства дуг, на которые серединный перпендикуляр делит нижнюю дугу, и из теоремы о вписанном угле в окружность.

2) Если из одной вершины в треугольнике проведены биссектриса b, медиана m и высота h, то биссектриса будет лежать между двумя другими отрезками, а длины всех отрезков подчиняются двойному неравенству .

3) В произвольном треугольнике расстояние от любой его вершины до его ортоцентра (точки пересечения высот) в 2 раза больше расстояния от центра описанной около этого треугольника окружности до противоположной этой вершине стороны. Для доказательства можно провести через вершины треугольника прямые, параллельные его высотам. Затем использовать подобие исходного и полученного треугольника.

4) Точка пересечения медиан M любого треугольника (его центр тяжести) вместе с ортоцентром треугольника H и центром описанной окружности (точка O) лежат на одной примой, причем . Это следует из предыдущего свойства и из свойства точки пересечения медиан.

5) Продолжение общей хорды двух пересекающихся окружностей делит отрезок их общей касательной на две равные части. Это свойство верно независимо от характера этого пересечения (то есть от расположения центров окружностей). Для доказательства можно воспользоваться свойством квадрата отрезка касательной.

6) Если в треугольнике проведена биссектриса его угла, то её квадрат равен разности произведений сторон угла и отрезков, на которые биссектриса делит противоположную сторону.

То есть имеет место следующее равенство

7) Знакома ли Вам ситуация, когда к гипотенузе проводится высота из вершины прямого угла? Наверняка. А знаете ли Вы, что все треугольники, которые при этом получаются подобны? Наверняка знаете. Тогда наверняка не знаете, что любые соответствующие элементы этих треугольников образуют равенство, повторяющее теорему Пифагора, то есть, например, , где и — радиусы вписанных окружностей в малые треугольники, а — радиус окружности, вписанной в большой треугольник.

8) Если вам попался произвольный четырехульник со всеми известными сторонами a,b,c и d, то его площадь можно легко посчитать по по формуле, напоминающей формулу Герона:
, где x – сумма любых двух противоположных углов четырехугольника. Если данный четырехугольника является вписанным в окружность, то и формула принимает вид:
и называется формулой Брахмагупты

9) Если ваш четырехугольник описан около окружности (то есть окружность в него вписана), то площадь четырехугольника вычисляется по формуле

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

Но тут же ученику предложили доказать, что сумма углов в треугольнике равна 180°. Учащийся сослался на свойства параллельных прямых. Но сами свойства параллельных прямых он стал доказывать на основе признаков параллельности прямых. Круг замкнулся. Поэтому в повторении теории будьте последовательны и внимательны. При чтении доказательства теоремы особое внимание обращайте на то, где в доказательстве использованы условия теоремы, какие ранее доказанные теоремы при этом использовались.
В настоящем параграфе формулировки теорем приведены по учебнику А. В. Погорелова «Геометрия. 7–9 классы».

Основные теоремы планиметрии и следствия из них

1. Теоремы о прямых (параллельность и перпендикулярность на плоскости)

Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то внутренние накрест лежащие углы равны, а сумма внутренних односторонних углов равна 180° (рис. 58).
а||b ? ? = ?
? + ? = 180°.

Признаки параллельности прямых.
Если при пересечении двух прямых третьей образующиеся внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны (рис. 59):
внутренние накрест лежащие углы равны? а||b.

Если при пересечении двух прямых третьей сумма образовавшихся внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны (рис. 60):
а||b.

Если при пересечении двух прямых третьей образующиеся соответственные углы равны, то прямые параллельны (рис. 61):
а||b.

Теоремы о существовании и единственности перпендикуляра к прямой. Через каждую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую, и только одну (рис. 62).

Из любой точки, не лежащей на данной прямой, можно опустить на эту прямую перпендикуляр, и только один (рис. 63).

Прямая b – единственная прямая, проходящая через точку А перпендикулярно а.

Связь между параллельностью и перпендикулярностью.
Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны (рис. 64).
(а? с, b ? с) ? а||b.

Если прямая перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой (рис. 65):
(а? b, b||с) ? а? с.

Рис. 65.

2 Теоремы об углах. Углы в треугольнике. Вписанные в окружность углы

Свойство углов равнобедренного треугольника. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Верна и обратная теорема: если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный (рис. 67):
АВ = ВС? ?А = ?С.

Теорема о сумме углов в треугольнике.
Сумма внутренних углов треугольника равна 180° (рис. 68):
? + ? + ? = 180°.

Теорема о сумме углов в выпуклом n-угольнике.
Сумма углов выпуклого n-угольника равна 180°?(n – 2) (рис. 69).

Пример:?1 + ?2 + ?3 + ?4 + ?5 = 180°?(5–2) = 540°.

Теорема о внешнем угле треугольника.
Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним (рис. 70):
? = ? + ?.

Теорема о величине вписанного в окружность угла.
Угол, вписанный в окружность, равен половине соответствующего q центрального угла (рис. 71):

Рис. 71.

3. Основные теоремы о треугольнике

ABC = ?A1B1C1 т. к. АB = А1В1, АС = А1С1 и?A = ?A1.
Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 73).

ABC = ?A1B1C1 т. к. АC = А1C1, ?A = ?A1, ?C = ?C1.

Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 74).

ABC = ?A1B1C1 т. к. АB = А1B1, АC = А1C1, BC = B1C1.

Признаки равенства прямоугольных треугольников.
Если гипотенуза и катет одного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 75).

ABC = ?A1B1C1 т. к. ?А = ?А1 = 90°; BC = B1C1; AB = A1B1.
Если гипотенуза и острый угол одного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 76).

АВС = ?А1В1С1, т. к. АВ = А1В1, ?А = ?A1 a ?С = ?С1 = 90°.

Свойство медианы равнобедренного треугольника.
В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является биссектрисой и высотой (рис. 77).

(АВ = ВС, АМ = МС) ? (?АВМ = ?МВС, ?АМВ = ?ВМС = 90°).

Свойство средней линии треугольника.
Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух данных сторон, параллельна третьей стороне и равна её половине (рис. 78).

EF||AC, EF = 1/2АС, т. к. АЕ = ЕВ и BF = FC.

Теорема синусов.
Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов (рис. 79).

Рис. 79.

А2= b2+ с2– 2bc cos ?.
Теорема Пифагора (частный случай теоремы косинусов).
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов (рис. 81).

С2= а2+ b2.

4. Пропорциональность и подобие на плоскости

(АВ = BC, AA1||BB1||CC1) ? A1B1 = В1С1, q и р – лучи, образующие угол?.
а, b, с – прямые, пересекающие стороны угла.

Теорема о пропорциональных отрезках (обобщение теоремы Фалеса).
Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки (рис. 83).

Рис. 83.

Или

Если? = ?, то

Или

Треугольники ABC и A1B1C1 – подобные, т. к. ? = ?1 и? = ?1.
Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, и углы, образованные этими сторонами, равны, то треугольники подобны (рис. 86).

Треугольники ABC и A1B1C1 – подобны, т. к.

И? = ?1.
Если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны (рис. 87).

Треугольники ABC и A1B1C1 – подобны, т. к

5. Основные геометрические неравенства

Неравенство треугольника.
Каковы бы ни были три точки, расстояние между любыми двумя из этих точек не больше суммы расстояний от них до третьей точки. Отсюда следует, что в любом треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других сторон (рис. 89):
АС < АВ + ВС.

Связь между величинами сторон и величинами углов в треугольнике.
В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, против большей стороны лежит больший угол (рис. 90).
(BC < AB < AC) ? (?А < ?С < ?В).

Рис. 90.

6. Основные геометрические места точек на плоскости

АК = AT, где А – любая точка на биссектрисе.
Геометрическим местом точек, равноудалённых от двух данных точек, будет прямая, перпендикулярная к отрезку, соединяющему эти точки, и проходящая через его середину (рис. 92).

MA = MB, где М – произвольная точка на серединном перпендикуляре отрезка АВ.
Геометрическим местом точек плоскости, равноудалённых от заданной точки, будет окружность с центром в этой точке (рис. 93).

Точка О равноудалена от точек окружности.

Местоположение центра окружности, описанной около треугольника.
Центр окружности, описанной около треугольника, является точкой пересечения перпендикуляров к сторонам треугольника, проведённых через середины этих сторон (рис. 94).

А, В, С – вершины треугольника, лежащие на окружности.
АМ = МВ и АК = КС.
Точки М и К – основания перпендикуляров к сторонам АВ и АС соответственно.

Местоположение центра окружности, вписанной в треугольник.
Центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения его биссектрис (рис. 95).

В?ABC отрезки AT и СК являются биссектрисами.

7. Теоремы о четырёхугольниках

АВ = CD, ВС = AD, ?BAD = ?BCD, ?АВС = ?ADC, AO = OC, BO = OD.

Признаки параллелограмма.
Если у четырёхугольника две стороны параллельны и равны, то он является параллелограммом (рис. 97).

ВС||AD, ВС = AD ? ABCD – параллелограмм.

Если диагонали четырёхугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник – параллелограмм (рис. 98).

АО = ОС, ВО = OD ? ABCD – параллелограмм.

Свойства прямоугольника.
Для прямоугольника характерны все свойства параллелограмма (у прямоугольника противолежащие стороны равны; у прямоугольника противолежащие углы равны (90°); диагонали прямоугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам).
Диагонали прямоугольника равны (рис. 99):
АС = BD.

Признак прямоугольника.
Если у параллелограмма все углы равны, то он является прямоугольником.

Свойства ромба.
Для ромба характерны все свойства параллелограмма (у ромба противолежащие стороны равны – вообще все стороны по определению равны; у ромба противолежащие углы равны; диагонали ромба пересекаются и точкой пересечения делятся пополам).
Диагонали ромба пересекаются под прямым углом.
Диагонали ромба являются биссектрисами его углов (рис. 100).

AC ? BD, ?ABD = ?DВС = ?CDB = ?BDA, ?ВАС = ?CAD = ?ВСА = ?DCA.

Признак ромба.
Если у параллелограмма диагонали перпендикулярны, то он является ромбом.

Свойства квадрата.
Квадрат обладает свойствами прямоугольника и ромба.

Признак квадрата.
Если диагонали прямоугольника пересекаются под прямым углом, то он – квадрат.

Свойство средней линии трапеции.
Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме (рис. 101).

Рис. 101.

Критерии вписанного и описанного четырехугольников.
Если около четырёхугольника можно описать окружность, то суммы его противоположных углов равны по 180° (рис. 102).
?А + ?С = ?В + ?D = 180°.

Если в четырёхугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны (рис. 103).
AB + CD = AD + BC.

Рис. 103.

8. Теоремы об окружностях

Если из точки S к окружности проведены две секущие, пересекающие окружность в точках А, В и С, D соответственно, то AS ? BS = CS ? DS (рис. 105).

Число?.
Отношение длины окружности к её диаметру не зависит от радиуса окружности, то есть оно одно и то же для любых двух окружностей. Это число равно? (рис. 106).

Рис. 106.

9. Векторы

Теорема о скалярном произведении векторов.
Скалярное произведение векторов равно произведению их абсолютных q величин (длин) на косинус угла между ними (рис. 108).
ОА? ОВ = ОА? OB ? cos ?.

Рис. 108.

Основные формулы планиметрии

Рис. 109.

Где a, b, с – стороны треугольника;
?, ?, ? – противолежащие им углы;
r и R – радиусы вписанной и описанной окружностей;
ha, ma, la – высота, медиана и биссектриса, проведённые к стороне а;
S – площадь треугольника;

– полупериметр треугольника.
Медианы в треугольнике делятся точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины (рис. 110).

Рис. 110.

Для четырёхугольников:

Где а, b – длины оснований;
h – высота трапеции.

Площадь параллелограмма со сторонами а, b и углом? между ними вычисляется по формуле S = ab sin ?. Можно также воспользоваться формулой:

Где d1, d2– длины диагоналей, ? – угол между ними (или S = aha, где ha – высота).
Для произвольного выпуклого четырёхугольника (рис. 111):

Для правильного n-угольника:

(R и r – радиусы описанной и вписанной окружностей, аn – длина стороны правильного n-угольника).
Для окружности и круга (рис. 112):

Рис. 112.

И 1\2R2?, если? выражен в радианах.
Sсегмента = Sсектора – Sтреугольника.

Формулы аналитической планиметрии

Уравнение прямой АВ:

Легко приводится к виду ах + by + с = 0, где вектор n = (а, b) перпендикулярен прямой.
Расстояние от точки А(х1; у1) до прямой ах + by + с = 0 равно

Расстояние между параллельными прямыми ах + by + с1 = 0 и ах + by + с2 = 0 равно

Угол между прямыми а1х + BLу + с1 = 0 и а2х + b2y + с2 = 0 вычисляется по формуле:

Уравнение окружности с центром в точке O(x0, y0) и радиусом R:(x – xo)2+ (y – yo)2= R2.

3.2. Вопросы для самопроверки

1. а) Какое вы знаете свойство вертикальных углов? (1)
2. а) Сформулируйте признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними. (1)
3. а) Сформулируйте признак равенства треугольников по стороне и двум углам. (1)
б) Докажите данный признак. (1)
4. а) Перечислите основные свойства равнобедренного треугольника. (1)
в) Докажите признак равнобедренного треугольника. (1)
5. а) Сформулируйте признак равенства треугольников по трём сторонам. (1)
б) Докажите данный признак. (1)
6. Докажите, что две прямые, параллельные третьей, параллельны. (2)
7. а) Сформулируйте признаки параллельности прямых. (1)
в) Докажите обратные теоремы. (1)
8. Докажите теорему о сумме углов треугольника. (1)
9. Докажите, что внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним. (1)
10. а) Сформулируйте признаки равенства прямоугольных треугольников. (1)
б) Докажите признаки равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету; по гипотенузе и острому углу. (1)
11. а) Докажите, что из точки, не лежащей на данной прямой, можно опустить на эту прямую единственный перпендикуляр. (1)
б) Докажите, что через точку, лежащую на данной прямой, можно провести единственную прямую, перпендикулярную данной. (1)
12. а) Где лежит центр описанной около треугольника окружности? (1)
13. а) Где лежит центр вписанной в треугольник окружности? (1)
б) Докажите соответствующую теорему. (1)
14. Докажите свойство касательной к окружности. (1)
15. а) Какие вы знаете свойства параллелограмма? (1)
б) Докажите эти свойства. (1)
16. а) Какие вы знаете признаки параллелограмма? (1)
б) Докажите эти признаки. (1)
17. а) Какие вы знаете свойства и признаки прямоугольника? (1)
18. а) Какие вы знаете свойства и признаки ромба? (1)
б) Докажите эти свойства и признаки. (1)
19. а) Какие вы знаете свойства и признаки квадрата? (1)
б) Докажите эти свойства и признаки. (1)
20. а) Сформулируйте теорему Фалеса. (1)
б) Докажите эту теорему. (1)
21. а) Сформулируйте обобщенную теорему Фалеса (теорему о пропорциональных отрезках). (1)
б) Докажите эту теорему. (2)
22. а) Какие свойства средней линии треугольника вы знаете? (1)
б) Докажите эти свойства. (1)
23. а) Какие вы знаете свойства средней линии трапеции? (1)
б) Докажите эти свойства. (1)
24. а) Сформулируйте теорему Пифагора. (1)
б) Докажите теорему Пифагора. (1)
в) Сформулируйте и докажите обратную теорему. (2)
25. Докажите, что любая наклонная больше перпендикуляра, и что из двух наклонных больше та, у которой больше проекция. (1)
26. а) Сформулируйте неравенство треугольника. (1)
б) Докажите неравенство треугольника. (2)
27. Даны координаты точек A(х1; у1) и В(х2; у2).
а) По какой формуле вычисляется длина отрезка AB? (1)
б) Выведите эту формулу. (1)
28. Выведите уравнение окружности с центром в точке А(х0; у0) и радиусом R. (1)
29. Докажите, что любая прямая в декартовых координатах х, у имеет уравнение вида ах + by + с = 0. (2)
30. Напишите уравнение прямой, проходящей через точки А(х1; у1) и В(х2; у2). Ответ: обоснуйте. (2)
31. Докажите, что в уравнении прямой у = kx + b число k есть тангенс угла наклона прямой к положительному направлению оси абсцисс. (2)
32. а) Какие вы знаете основные свойства движений? (2)
б) Докажите эти свойства. (3)
33. Докажите, что:
а) преобразование симметрии относительно точки является движением; (3)
б) преобразование симметрии относительно прямой является движением; (3)
в) параллельный перенос есть движение. (3)
34. Докажите теорему о существовании и единственности параллельного переноса. (3)
35. Докажите, что абсолютная величина вектора kа равна |к| ? |а|, при этом направление вектора kа при а? О совпадает с направлением вектора а, если k > 0, и противоположно направлению вектора а, если к < 0. (1)
36. Докажите, что любой вектор а можно разложить по векторам b и с (все три вектора лежат на одной плоскости). (1)
37. Даны векторы а = (а1; а2) и b = (BL; b2). Докажите, что

Где? – угол между векторами.
38. а) Какие вы знаете свойства скалярного произведения векторов? (1)
б) Докажите эти свойства. (2)
39. Докажите, что гомотетия есть преобразование подобия. (1)
40. а) Какие вы знаете свойства преобразования подобия? (1)
б) Докажите, что преобразование подобия сохраняет углы между лучами. (2)
41. а) Сформулируйте признак подобия треугольников по двум углам. (1)
42. а) Сформулируйте признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними. (1)
б) Докажите этот признак. (1)
43. а) Сформулируйте признак подобия треугольников по трём сторонам. (1)
б) Докажите этот признак. (2)
44. а) Сформулируйте свойство биссектрисы треугольника. (1)
б) Докажите, что биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам. (1)
45. а) Сформулируйте свойство вписанного в окружность угла. (1)
б) Докажите это свойство. (1)
46. а) Докажите, что если хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке S, то AS ? BS = CS ? DS. (1)
б) Докажите, что если из точки S к окружности проведены две секущие, пересекающие окружность в точках А, В и С, D соответственно, то AS ? BS = CS ? DS. (1)
47. а) Сформулируйте теорему косинусов для треугольника. (1)
б) Докажите эту теорему. (1)
48. а) Сформулируйте теорему синусов. (1)
б) Докажите эту теорему. (1)
в) Докажите, что в теореме синусов каждое из трёх отношений:

Равно 2R, где R – радиус описанной около треугольника окружности. (1)
49. Докажите, что в треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против большего угла лежит большая сторона. (2)
50. а) Чему равна сумма углов выпуклого n-угольника? (1)
б) Выведите формулу суммы углов выпуклого n-угольника. (1)
51. а) Докажите, что в правильный многоугольник можно вписать окружность. (1)
б) Докажите, что около правильного многоугольника можно описать окружность. (1)
52. Дан правильный n-угольник со стороной а. Выведите формулы:
а) радиусов вписанной и описанной окружностей; (1)
б) площади n-угольника; (1)
в) угла при вершине. (1)
53. Докажите, что отношение длины окружности к её диаметру не зависит от размера окружности. (3)
54. Как переводить углы из градусной меры в радианную и наоборот? (1)
55. Докажите, что площадь прямоугольника равна произведению длины прямоугольника на его ширину. (3)
56. а) По какой формуле вычисляется площадь параллелограмма? (1)
б) Выведите эту формулу. (1)
57. а) По какой формуле вычисляется площадь треугольника? (через основание и высоту). (1)
б) Выведите эту формулу. (1)
в) Выведите формулу Герона. (1)
58. а) По какой формуле вычисляется площадь трапеции? (1)
б) Выведите эту формулу. (1)
59. Выведите формулы:

Где a, b, c – длины сторон треугольника;
S – его площадь;
R и r – радиусы описанной и вписанной окружностей. (1)
60. Пусть F1 и F2 – две подобные фигуры с коэффициентом подобия k. Как относятся площади этих фигур? Ответ: обоснуйте. (1)
61. а) По какой формуле вычисляется площадь круга? (1)
б) Выведите эту формулу. (3)
62. Выведите формулу площади кругового сектора. (2)
63. Выведите формулу площади кругового сегмента. (2)
64. а) Докажите, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. (2)
б) Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке. (2)
в) Докажите, что высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке. (2)
г) Докажите, что серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке. (1)
65. Докажите, что площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними. (1)
66. а) Сформулируйте теорему Чевы. (3)
б) Докажите эту теорему. (3)
67. а) Сформулируйте теорему Мене лая. (3)
б) Докажите эту теорему. (3)
в) Сформулируйте и докажите обратную теорему. (3)
68. а) Докажите, что если стороны одного угла параллельны сторонам другого угла, то такие углы либо равны, либо составляют 180°. (2)

Транскрипт

1 Основные определения, теоремы и формулы планиметрии. Обозначения: AВС треугольник с вершинами А, B, С. а = BC, b = AС, с = АB его стороны, соответственно, медиана, биссектриса, высота, проведенные к стороне а, Р - периметр, полупериметр, R и r радиусы соответственно описанном и вписанной окружностей. S -- площадь фигуры, d 1,d 2 - диагонали четырехугольника, угол между прямыми a и b; знаки, параллельности, перпендикулярности, подобия соответственно. О определение, Т теорема. Т 1. (Признаки параллельности прямых, рис. (6). О-1. А 1 В 1 С 1 ", ~ АВС (k - коэффициент подобия), если их стороны пропорциональны, а соотиетствепныг углы равны (рис. 7): Две прямые параллельны, если: внутренние накрест лежащие углы равны: < 3 = < 5; внешние накрест лежащие УГЛЫ равны: < 1 = < 7; соответственные углы равны: <1 = < 5; сумма внутренних односторонних углов равна 180: < 2 + < 5= 180 ; сумма внешних односторонних углов равна 180: < 1 + < 6 = 180. Т 2 (признаки подобия). Два треугольника подобны, если: дня угла одного равны двум углам другого; дне стороны одного пропорциональны двум сторонам другого, а углы, заключенные между этими сторонами, равны; три стороны одного пропорциональны трем сторонам другого.

2 Т 3. В подобных треугольниках пропорциональны все их линейные элементы (с одним и тем же k): стороны, медианы, биссектрисы, высоты, радиусы вписанных и описанных окружностей и пр. Т 4 (Фалеса). Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от них пропорциональные отрезки (рис. 8): Т 5. Сумма углов треугольника равна 180. Т 6. Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану на части в отношении 2: 1, считая от вершины (см. рис. 9): Т 7. Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине (рис. 10): Т 8. Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам: BD: СD = АВ: AС (см. рис. 11).

3 Т 9. Вписанный угол (образованный двумя хордами, исходящими из одной. точки окружности) измеряется половиной дуги, на которую он,опирается (рис. 12): Т-10. Центральный угол, образованный двумя радиусами окружности, измеряется дугой, на которую он опирается (см. рис. 12): Т 11. Угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания, измеряется половиной дуги, заключенной между его сторонами (рис. 13): Т 12. Угол между двумя секущими с вершиной вне окружности измеряется полуразностью двух дуг, заключенных между его сторонами (рис. 14): Т 13. Касательные, проведенные к окружности из общей точки, расположенной вне окружности, равны: В А = ВС. Угол между двумя касательными (описанный угол) измеряется полуразностью большей, и меньшей дуг, заключенных между точками касания (рис. 15):

4 Т 14. Угол между двумя хордами с вершиной внутри круга измеряется полусуммой двух дуг, одна из которых заключена между его сторонами, другая между их продолжениями (рис. 16): Т 15. Если две хорды пересекаются внутри круги, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой (см. рис. 16): АО ОB = СО OD. Т 16. Если из точки вне круга проведены касательная и секущая, то квадрат касательной равен произведению отрезка секущей на ее внешнюю часть (рис. 17): Т 17. В прямоугольном треугольнике (а, b -- катеты, с гипотенуза. h высота, опущенная на гипотенузу, а c, b c проекции катетов па гипотенузу) имеют место (рис. 18): 1. формула Пифагора: c 2 = a 2 + b 2 2. формулы 3. определение тригонометрических величин (функций) острых углов: 4. формулы решения прямоугольного треугольника:

5 5. центр описанной около прямоугольного треугольника окружности лежит на середине гипотенузы и Т 18 (теорема синусов). В произвольном треугольнике (рис. 19) Т-19 (теорема косинусов). В произвольном треугольнике (рис. 19): Т 20. Сумма квадратов длин диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов длин его сторон: Т 21. Центр окружности, описанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла. Радиус окружности перпендикулярен стороне угла и точке касания. Центр окружности, вписанной в треугольник, находится в точке пересечения биссектрис углов треугольника. Т 22. Центр окружности, описанной около треугольника, расположен в точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам. Т 23. В описанном около окружности четырехугольнике суммы противоположных сторон равны. В частности, если равнобочная трапеция описана около окружности, то ее средняя линия равна боковой стороне. Т 24. Во вписанном в окружность четырехугольнике суммы противоположных углов равны 180. Т 25. Площадь треугольника равна

6 T 26. В правильном треугольнике со стороной a: Т 27. В правильном n-угольнике (a n сторона n-угольника, R радиус описанной, r радиус вписанной окружности): Т 28. Площади подобных треугольников относятся как квадраты сходственных сторон. О-2. Две фигуры называются равновеликими, если их площади одинаковы. Т 29. Медиана делит треугольник на две равновеликие части. Три медианы делят треугольник на шесть равновеликих частей. Отрезки, соединяющие точку пересечения медиан с вершинами, делят треугольник на три равновеликие части. Т 30. В произвольном треугольнике длина медианы вычисляется следующим образом (рис. 19): Т 31. Формулы площадей четырехугольников: квадрата со стороной a: S = a 2 ; прямоугольника со сторонами н. н li: S = a b; параллелограмма со сторонами а и b: ромба со стороной а и острым углом между сторонами: трапеции с основаниями a и b:

7 выпуклого четырехугольника: Т-32. Другие формулы: площадь многоугольника, описанного около окружности радиуса r: S = p r; площадь круга радиуса R: площадь сектора раствора (рaд): длина окружности радиуса R: длина дуги и или рад: Все формулы площади поверхности объемных тел Площадь полной поверхности куба a - сторона куба Формула площади поверхности куба, (S):

8 Найти площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда a, b, c,- стороны параллелепипеда Формула площади поверхности параллелепипеда, (S): Расчет площади поверхности цилиндра r- радиус основания h- высота цилиндра π 3.14 Формула площади боковой поверхности цилиндра, (S бок): Формула площади всей поверхности цилиндра, (S): Найти площадь поверхности шара, формула R - радиус сферы π 3.14

9 Формула площади поверхности шара (S): Площадь поверхности шарового сектора R - радиус шара r - радиус основания конуса = радиус сегмента π 3.14 Формула площади поверхности шарового сектора, (S): Площадь поверхности шарового слоя h - высота шарового слоя, отрезок KN R - радиус самого шара O - центр шара π 3.14 Формула площади боковой поверхности шарового слоя, (S):

10 Площадь поверхности шарового сегмента Шаровый сегмент- это часть шара отсеченная плоскостью. В данном примере, плоскостью ABCD. R - радиус самого шара h - высота сегмента π 3.14 Формула площади поверхности шарового сегмента, (S): Площадь поверхности правильной пирамиды через апофему L - апофема (опущенный перпендикуляр OC из вершины С, на ребро основания АВ) P- периметр основания S осн - площадь основания Формула площади боковой поверхности правильной пирамиды (S бок): Формула площади полной поверхности правильной пирамиды (S):

11 Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды m - апофема пирамиды, отрезокok P - периметр нижнего основания,abcde p - периметр верхнего основания,abcde Формула площади боковой поверхности правильной усеченной пирамиды, (S): Площадь поверхности прямого, кругового конуса R - радиус основания конуса H - высота L - образующая конуса π 3.14 Формула площади боковой поверхности конуса, через радиус (R) и образующую (L), (S бок): Формула площади боковой поверхности конуса, через радиус (R) и высоту (H), (S бок): Формула площади полной поверхности конуса, через радиус (R) и образующую (L), (S):

12 Формула площади полной поверхности конуса, через радиус (R) и высоту (H), (S): Формулы площади поверхности усеченного конуса R - радиус нижнего основания r- радиус верхнего основания L - образующая усеченного конуса π 3.14 Формула площади боковой поверхности усеченного конуса, (S бок): Формула площади полной поверхности усеченного конуса, (S): Расчет объема куба Все формулы объема геометрических тел a - сторона куба Формула объема куба, (V):

13 Объем прямоугольного параллелепипеда a, b, c- стороны параллелепипеда Формула объема параллелепипеда, (V): Формула вычисления объема шара R- радиус шара π 3,14 Объем шара, (V): Объем шарового слоя h- высота шарового слоя R- радиус нижнего основания r- радиус верхнего основания π 3,14

14 Объем шарового слоя, (V): Объем шарового сектора h - высота сегмента R - радиус шара π 3,14 Объем шарового сектора, (V): Объем шарового сегмента, формула Шаровый сегмент- это часть шара отсеченная плоскостью. В данном примере, плоскостью ABCD. R - радиус шара h - высота сегмента π 3,14 Объем шарового сегмента, (V):

15 Как вычислить объем цилиндра? h- высота цилиндра r- радиус основания π 3,14 Объем цилиндра, (V): Как найти объем конуса? H- высота конуса R- радиус основания π 3,14 Объем конуса, (V): Формула объема усеченного конуса R- радиус нижнего основания r- радиус верхнего основания h- высота конуса π 3,14

16 Объем усеченного конуса, (V): Расчет объема пирамиды h - высота пирамиды S - площадь основания ABCDE Объем пирамиды, (V): Расчёт объёма усечённой пирамиды h - высота пирамиды S ниж - площадь нижнего основания, ABCDE S верх - площадь верхнего основания, abcde Объем усеченной пирамиды, (V): Найти объем правильной пирамиды

17 Пирамида в основании, которой лежит правильный многоугольник и грани равные треугольники, называется правильной. h - высота пирамиды a - сторона основания пирамиды n - количество сторон многоугольника в основании Объем правильной пирамиды, (V): Объем правильной треугольной пирамиды Пирамида, у которой основание равносторонний треугольник и грани равные, равнобедренные треугольники, называется правильной треугольной пирамидой. h - высота пирамиды a - сторона основания Объем правильной треугольной пирамиды, (V): Объем правильной четырехугольной пирамиды Пирамида, у которой основание квадрат и грани равные, равнобедренные треугольники, называется правильной четырехугольной пирамидой. h - высота пирамиды a - сторона основания Объем правильной четырехугольной пирамиды, (V):

18 Объем правильного тетраэдра Правильный тетраэдр- пирамида у которой все грани, равносторонние треугольники. а -ребро тетраэдра Объем правильного тетраэдра (V):

1. Определение: Если два угла имеют общую сторону, а две другие стороны являются дополняющими лучами, то данные углы называются смежными. Свойство: Сумма смежных углов 180 о. МОL + LON = 180 o 2. Свойство:

Произвольный треугольник В приведенных ниже формулах используются следующие обозначения: а) с длины сторон АВС лежащие против углов А В и С соответственно б) высоты медианы l l l биссектрисы в) радиус

Задание 3, 6, 6. Планиметрия Угловые соотношения в плоских фигурах Теорема. Сумма смежных углов равна 80 0. и смежные углы Теорема. Биссектрисы смежных углов взаимно перпендикулярны. Теорема. Вертикальные

Задание 6. Планиметрия Угловые соотношения в плоских фигурах Теорема. Две прямые, параллельные третьей, параллельны. Теорема. Если две прямые параллельности пересечены секущей, то. Накрест лежащие углы

1. Площади плоских фигур Площадь треугольника: стр. 1 2. Средняя линия 3. Треугольники Сумма углов треугольника равна 180. Тупой угол между биссектрисами двух углов треугольника равен 90 + половина третьего

Четверть 1 1. Сумма углов выпуклого п угольника равна (п 2) 180. 2. Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. 3. Свойства параллелограмма: 1)

Анализ геометрических высказываний 1. 1. Укажите номера верных утверждений. 1) Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны. 2) Вертикальные углы

1. См. рис. 4. Угол между пересекающимися хордами равен полусумме противоположных дуг, высекаемых хордами. 5. Угол между двумя секущими равен полуразности дуг, высекаемых секущими на окружности. 1 Вопросы

Гущин Д. Д. СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ЗАДАНИЯ 3 И 6: ПЛАНИМЕТРИЯ ЭТО НАДО ЗНАТЬ: ТРЕУГОЛЬНИКИ Треугольник фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех

МУНИЦИПАЛЬНОЕ АВТОНОМНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ГИМНАЗИЯ 16 ГОРОДА ТЮМЕНИ МАОУ ГИМНАЗИЯ 16 ГОРОДА ТЮМЕНИ Экзаменационные билеты по геометрии по программе основного общего образования 8БЖД класс

Тест 448 Вертикальные углы 1. Если углы не вертикальные, то они не равны. 2. Равные углы являются вертикальными углами, только если они центрально - симметричны. 3. Если углы равны и их объединение имеет

1.2. Тесты 31. Отношение боковой стороны к диагонали равнобедренной трапеции с основаниями 12 и 20 при условии, что центр описанной окружности лежит на большем основании, равно 1) 1; 2) 0,5; 3) 0,8; 4)

1. Площади плоских фигур Площадь треугольника: стр. 1 2. Средняя линия 3. Треугольники Сумма углов треугольника равна 180. Углы при основании равнобедренного треугольника равны. Биссектриса, медиана и

ЗАДАНИЯ 20 ОГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ НАЧАЛЬНЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ (ОТРЕЗКИ, ПРЯМЫЕ И УГЛЫ) 1) Точка, лежащая на серединном перпендикуляре к отрезку, равноудалена от концов этого отрезка. 2) Существуют три

Окружности Касательные и секущие, взаимное расположение окружностей Окружность есть геометрическое место точек, равноудаленных от одной точки, которая называется центром окружности Часть плоскости, лежащая

Тест 250. Отрезок. Длина Длина отрезка равна 1, если он является: 1. высотой равностороннего треугольника со стороной 2; 2. третьей стороной треугольника, в котором две другие стороны равны 1 и 2, а угол

Анализ геометрических высказываний 1. Укажите номера верных утверждений. 1) Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны. 2) Вертикальные углы

Теоретическая часть экзамена по Г-8 кл. Знать и понимать (сделать чертеж и показать на рисунке) следующие определения и теоремы (без доказательства) из учебника Г-8 А.Г. Мерзляка Глава 1 1. Сумма углов

Структура зачетной работы по геометрии 11 класс / 2013 год/ Работа содержит 10 задач. Продолжительность работы 120 минут. Часть 1. Задачи 1-7 задачи базового уровня сложности (часть В ЕГЭ) с кратким решением

МОУ Лицей при ТПУ СПРАВОЧНИК ПО ГЕОМЕТРИИ Планиметрия Томск 003 . ТРЕУГОЛЬНИКИ.. Прямоугольный треугольник... Метрические соотношения b катеты с гипотенуза h высота AH = c BH =.... Площадь b S =. b) +

11 класс. Типовой расчет по теме «Круглые тела». Вариант 1 1. Диагональ осевого сечения цилиндра равна а. Найти объем цилиндра, если известно, что его осевое сечение является квадратом. 2. В прямоугольной

20. Анализ геометрических высказываний Часть 1. ФИПИ Задание. Укажите (обведите) номера верных утверждений. I) Начальные геометрические сведения (отрезки, прямые и углы) 1. Точка, лежащая на серединном

11 класс. Типовой расчет по теме «Круглые тела». Вариант 16 1. Площадь основания цилиндра относится к площади осевого сечения, как π Найти угол между диагоналями осевого сечения. 2. На поверхности шара

Сайт элементарной математики Дмитрия Гущина www.mthnet.sp.ru Гущин Д. Д. СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ЗАДАНИЯ B3 И В6: ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ Проверяемые элементы содержания и

В.А. Смирнов Открытый банк заданий по геометрии (планиметрия) 2018-2019 уч. год ТЕОРЕМЫ, СВОЙСТВА И ФОРМУЛЫ 1. Теорема о вертикальных углах. 2. Первый признак равенства треугольников. 3. Второй признак

1 Анализ геометрических высказываний Ответами к заданиям являются слово, словосочетание, число или последовательность слов, чисел. Запишите ответ без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Аксиомы стереометрии 1. 2. 3. 4. 5. Следствия из аксиом 1. 2. Всегда ли верно утверждение? 1. Любые 3 точки лежат в одной плоскости. 1 2. Любые 4 точки лежат в одной плоскости. 3. Любые 3 точки не лежат

СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ Гущин Д. Д. ЗАДАНИЯ B3 И В6: ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ Проверяемые элементы содержания и виды деятельности: владение понятиями треугольник, четырехугольник,

60 2.2. Тесты 161. Если стороны основания правильной усеченной пирамиды 6 и 4, а двугранный угол при основании равен 0, то боковая поверхность правильной треугольной усеченной пирамиды равна 1) 10; 2)

Экзаменационный материал по геометрии для 9-х классов Задачи в билетах приведены подобные. Билет 1 1. Первый признак равенства треугольников. 2. Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника.

В6 все задачи из банка Использование тригонометрических функций. Прямоугольный треугольник 27238. В треугольнике ABC угол C равен,. Найдите AB. 27232. В треугольнике ABC угол C равен,. Найдите AC. 27235.

Задания 1.Вставьте вместо пропусков слова (словосочетания) так, чтобы утверждение было верным Г-11. 1.1. Вектор, конец которого совпадает с данной точкой, а начало с началом координат, называется данной

Справка В9 Многогранники Многогранник это такое тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников. Призма Призмой называется многогранник, который состоит из двух плоских многоугольников,

1 ЧИСЛА, ДРОБИ, МОДУЛИ Множества: Æ - пустое множество N = {1, 2, 3, } - множество натуральных чисел Z = - множество целых чисел Q = - множество рациональных чисел (дробей) R множество вещественных (действительных)

В.А. Смирнов, И.М. Смирнова ГЕОМЕТРИЯ Пособие для подготовки к ГИА Задачи на выбор верных утверждений 2015 1 ВВЕДЕНИЕ Данное пособие предназначено для подготовки к решению геометрических задач ГИА по математике.

1. Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера. Вокруг любого треугольника можно описать окружность. Если в параллелограмме диагонали равны и перпендикулярны, то этот параллелограмм квадрат.

Экзаменационные билеты по геометрии 2017-18 учебный год Билет 1 1. Признаки равенства треугольников. Признаки равенства прямоугольных треугольников. 2. Основания BC и AD трапеции АBCD равны соответственно

Учебное пособие по геометрии 10 класс Повторение планиметрии (задачи в картинках) Для учащихся Лицея 1502 при МЭИ І полугодие Краткое содержание 1. Программа коллоквиума по «Планиметрии». 2. Содержание

Математические диктанты по геометрии для VII и VIII класса (Из опыта работы) VII класс Диктант 1 «Сумма углов треугольника» 1. Дан треугольник MKL. Запишите, чему равна сумма углов этого треугольника.

Билеты для экзамена по геометрии в 8-м классе. Билет 1. 1. Многоугольники 2. Значение Sin, Cos,tg (таблица) 1) Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники

Задания с кратким ответом по геометрии Задание. Решите задание. Дайте краткий ответ. 1. Найдите расстояние от точки до начала координат. 2. Найдите расстояние от точки до начала координат. 3. При каком

7 класс 1. Виды углов. Угол называется прямым, если он равен 90 0. Угол называется острым, если он меньше 90 0. Угол называется тупым, если он больше 90 0, но меньше 180 0. Прямой угол Острый угол Тупой

Алгебра Формулы сокращенного умножения: Квадрат суммы (+ = + + Квадрат разности (- = - + Разность квадратов = (+ (Куб суммы (+ = + + + Куб разности (- = - + - Сумма кубов + = (+ (- + Разность кубов

11 класс. Типовой расчет по теме «Призма». Вариант 16 1. Основанием наклонной призмы служит прямоугольник со сторонами a и b. Две смежные боковые грани составляют с плоскостью основания углы и. Найти объём

Три боковых ребра и наклоненная к плоскости основания под углом α. Сторона основания равна α. Найдите площадь полученного сечения. 17. В правильной четырехугольной призме площадь основания 144 см², а высота

Квадрат L S = l= ; а в Трапеция O угол между диагоналями l средняя линия трапеции Метод координат l D) Пусть А(х; у), В(х; у), тогда координаты вектора АВх х у) Пусть А(х; у), В(х; у), тогда

Билет 1 1) Определение многоугольника. Вершины, стороны, диагонали и периметр многоугольника. Формула суммы углов выпуклого многоугольника 2) Доказать теорему о средней линии треугольника. 3) Радиус OB

Билет 1 1. Первый признак равенства треугольников. 2. Параллелограмм. Определение, свойства. 3. Задача по теме «Координаты и векторы». Билет 2 1. Второй признак равенства треугольников. 2. Прямоугольник.

Билеты по геометрии для переводного экзамена в 8 классе (учебник Геометрия 7 9 Л. С. Атанасян.) Каждый билет содержит 4 вопроса. В первом вопросе предлагается сформулировать и доказать теорему. Во втором

Тест 94. Равнобедренный треугольник. Свойство В любом равнобедренном треугольнике: 1. хотя бы одна медиана является его биссектрисой; 2. хотя бы одна биссектриса не является его высотой; 3. хотя бы две

Справочный материал по геометрии. I. Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых: 1. Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. 2. Если при пересечении

Вписанные и описанные окружности Окружностью, описанной около треугольника, называется окружность, которая проходит через все его вершины. Около всякого треугольника можно описать единственную окружность.

Задание 6 Планиметрия: задачи, связанные с углами. Прямоугольный треугольник: вычисление углов 1. В треугольнике угол равен 90, sin A = 7 25. Найдите. 2. В треугольнике угол равен 90, sin A = 17 17. Найдите.

Пирамиды. 11.1.5. Основанием четырехугольной пирамиды служит квадрат. Одно из боковых ребер перпендикулярно плоскости основания, два других наклонены к основанию под углом 60. Найти полную поверхность

Смирнов В.А., Смирнова И.М. ГЕОМЕТРИЯ ЗАДАЧИ НА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО 2015 Введение Данное пособие предназначено для тех, кто хочет научиться решать задачи на доказательство по геометрии. Оно содержит около четырехсот

ПРИМЕРЫ ЗАДАЧ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К II-МУ ЭТАПУ ОЛИМПИАДЫ ПО МАТЕМАТИКЕ ПЛАНИМЕТРИЯ ТРЕУГОЛЬНИКИ 1. Длина одного из катетов прямоугольного треугольника больше длины другого на 10 см, но меньше длины гипотенузы

ЗАДАНИЕ 9 ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК 1. В треугольнике ABC угол C равен,. Найдите AB. 2. В треугольнике ABC угол C равен,. Найдите AB. 3. В треугольнике ABC угол C равен,. Найдите AB. 4. В треугольнике

Т е м а 1 ПОВТОРЕНИЕ ПЛАНИМЕТРИИ Практика 1 В классе (5 номеров) 1. Основания трапеции равны a и b (a > b). Найдите длину отрезка MN, концы которого делят боковые стороны AB и CD в отношении AM: MB =

Прототипы задания 6 1. В треугольнике ABC угол C равен 90 0, AC = 4,8, 25. В треугольнике ABC AC = BC, AB = 8, 33 tga. 7 4 33 sin A. Найдите AB. 25 Найдите AC. 2. В треугольнике ABC угол C равен 90 0,

Работа по геометрии для 8 класса. 1.Вид работы: промежуточная аттестация по геометрии в 8 классе Цель работы: оценка уровня достижения учащимися 8 класса планируемых результатов обучения геометрии 2.Перечень

Требования к уровню подготовки обучающихся В результате изучения курса геометрии 8 класса учащиеся должны: знать: - определение параллельных прямых, формулировки признака параллельных прямых и следствий

Оглавление Формулы сокращенного умножения и разложения на множители... Квадратное уравнение... Парабола... 3 Степени и корни... 3 Логарифмы... 4 Прогрессии... 4 Тригонометрия... 5 Тригонометрические уравнения...

Мастер-класс «Геометрия и стереометрия на ЕГЭ по математике, часть 1. Октябрь 2017. Для решения задач необходимы знания о геометрических фигурах и их свойствах, вычислении площадей плоских фигур, объемах

Оглавление 1. Арифметическая прогрессия 2. Арифметический квадратный корень 3. Биссектриса 4. Вписанная окружность 5. Выпуклый четырёхугольник 6. Геометрическая прогрессия 7. Деление с остатком 8. Делимость

10 класс. Типовой расчет по теме «Планиметрия». Вариант 1 1. В остроугольном треугольнике проекции двух сторон на третью равны 4 и 2 см. Найти проекцию медиан на ту же сторону. 2. В равнобедренном треугольнике

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ ПО ГЕОМЕТРИИ ДЛЯ 7-11 КЛАССОВ.

Уважаемые родители! Если Вы ищите репетитора по математике для Вашего ребёнка, то это объявление для Вас. Предлагаю скайп-репетиторство: подготовка к ОГЭ, ЕГЭ, ликвидация пробелов в знаниях. Ваши выгоды очевидны:

1) Ваш ребенок находится дома, и Вы можете быть за него спокойны;

2) Занятия проходят в удобное для ребенка время, и Вы даже можете присутствовать на этих занятиях. Объясняю я просто и доступно на всем привычной школьной доске.

3) Другие важные преимущества скайп-занятий додумаете сами!

P.S. Друзья, конечно, это бесплатно!

Дорогие друзья! Готовитесь к ОГЭ или ЕГЭ?

Вам в помощь «Справочник по геометрии 7-9» .

Определение параллелограмма.

Параллелограмм - это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны: AB||CD, AD||DC .

Противоположные стороны параллелограмма равны: AB=CD, AD=DC.

Противоположные углы параллелограмма равны:

∠A= ∠C, ∠B= ∠D.

Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной его стороне составляет 180°. Например, ∠A+ ∠B=180°.

Любая диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника. Δ ABD=Δ BCD.

Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. AO=OC, BO=OD. Пусть АС=d 1 и BD=d 2 , ∠COD=α. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон:

• Если две противоположные стороны четырехугольника параллельны и равны, то этот четырехугольник - параллелограмм.
• Если противоположные стороны четырехугольника попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
• Если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник - параллелограмм.

Площадь параллелограмма.

1) S=ah;

2) S=ab∙sinα;

Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые. ABCD — прямоугольник. Прямоугольник обладает всеми свойствами параллелограмма.

Диагонали прямоугольника равны.

AC=BD. Пусть АС=d 1 и BD=d 2 , ∠COD=α.

d 1 =d 2 – диагонали прямоугольника равны. α – угол между диагоналями.

Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов сторон прямоугольника:

(d 1) 2 =(d 2) 2 =a 2 +b 2 .

Площадь прямоугольника можно найти по формулам:

1) S=ab; 2) S=(½)· d²∙sinα; (d- диагональ прямоугольника).

Около любого прямоугольника можно описать окружность, центр которой – точка пересечения диагоналей; диагонали являются диаметрами окружности.

Ромб.

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны.

ABCD — ромб.

Ромб обладает всеми свойствами параллелограмма.

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны.

AC | BD.

Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

Площадь ромба.

1) S=ah;

2) S=a 2 ∙sinα;

3) S=(½) d 1 ∙d 2 ;

4) S= P∙r, где P – периметр ромба, r – радиус вписанной окружности.

Квадрат.

Все стороны квадрата равны, диагонали квадрата равны и пересекаются под прямым углом.

Диагональ квадрата d=a√2.

Площадь квадрата. 1) S=a 2 ; 2) S=(½) d 2 .

Трапеция.

Основания трапеции AD||BC, MN-средняя линия

Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту:

S=(AD+BC)∙BF/2 или S=(a+b)∙h/2.

В равнобедренной (равнобокой) трапеции длины боковых сторон равны; углы при основании равны.

Площадь любого четырехугольника.

• Площадь любого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними:

S=(½) d 1 ∙d 2 ∙sinβ.

• Площадь любого четырехугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности:

Вписанные и описанные четырехугольники.

В выпуклом четырехугольнике, вписанном в круг, произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон (теорема Птолемея).

AC∙BD=AB∙DC+AD∙BC.

Если суммы противолежащих углов четырехугольника равны по 180°, то около четырехугольника можно описать окружность . Обратное утверждение также верно.

Если суммы противолежащих сторон четырехугольника равны (a+c=b+d), то в этот четырехугольник можно вписать окружность. Обратное утверждение также верно.

Окружность, круг.

1) Длина окружности С=2πr;

2) Площадь круга S=πr 2 ;

3) Длина дуги АВ:

4) Площадь сектора АОВ:

5) Площадь сегмента (выделенная область):

(«-» берут, если α<180°; «+» берут, если α>180°), ∠AOB=α – центральный угол. Дуга l видна из центра O под углом α.

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: c²=a²+b².

Площадь прямоугольного треугольника.

S Δ =(½) a∙b, где a и b — катеты или S Δ =(½) c∙h, где с — гипотенуза, h –высота, проведенная к гипотенузе.

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности.

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике.

Высота, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе есть средняя пропорциональная величина между проекциями катетов на гипотенузу: h 2 =a c ∙b c ;

а каждый катет есть средняя пропорциональная величина между всей гипотенузой и проекцией данного катета на гипотенузу: a 2 =c∙a c и b 2 =c∙b c (произведение средних членов пропорции равно произведению ее крайних членов: h, a, b — средние члены соответствующих пропорций ).

Теорема синусов.

В любом треугольнике стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.

Следствие из теоремы синусов.

Каждое из отношений стороны к синусу противолежащего угла равно 2R, где R — радиус окружности, описанной около треугольника.

Теорема косинусов.

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других ее сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

Свойства равнобедренного треугольника.

В равнобедренном треугольнике (длины боковых сторон равны ) высота, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой. Углы при основании равнобедренного треугольника равны.

Сумма внутренних углов любого треугольника составляет 180°, т. е. ∠1+∠2+∠3=180°.

Внешний угол треугольника (∠4) равен сумме двух внутренних, не смежных с ним, т. е. ∠4=∠1+∠2.

Средняя линия треугольника соединяет середины боковых сторон треугольника.

Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине: MN=AC/2.

Площадь треугольника.

Формула Герона.

Центр тяжести треугольника.

Центр тяжести треугольника — точка пересечения медиан, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Длина медианы, проведенной к стороне а:

Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника, площадь каждого из этих двух треугольников равна половине площади данного треугольника.

Биссектриса угла треугольника.

1) Биссектриса угла любого треугольника делит противоположную сторону на части, соответственно пропорциональные боковым сторонам треугольника:

2) если AD=β a , то длина биссектрисы:

3) Все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Центр окружности, вписанной в треугольник , лежит на пересечении биссектрис углов треугольника.

Площадь треугольника S Δ =(½) P∙r, где P=a+b+c, r-радиус вписанной окружности.

Радиус вписанной окружности можно найти по формуле:

Центр окружности, описанной около треугольника , лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Радиус окружности, описанной около любого треугольника:

Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника , равен половине гипотенузы: R=АВ/2;

Медианы прямоугольных треугольников, проведенных к гипотенузе, равны половине гипотенузы (это радиусы описанной окружности) OC=OC 1 =R.

Формулы для радиусов вписанных и описанных окружностей правильных многоугольников.

Окружность, описанная около правильного n-угольника.

Окружность, вписанная в правильный n-угольник.

Сумма внутренних углов любого выпуклого n-угольника равна 180°(n-2).

Сумма внешних углов любого выпуклог0 n-угольника равна 360°.

Прямоугольный параллелепипед.

Все грани прямоугольного параллелепипеда — прямоугольники. a, b, c – линейные размеры прямоугольного параллелепипеда (длина, ширина, высота).

1) Диагональ прямоугольного параллелепипеда d 2 =a 2 +b 2 +c 2 ;

2) Боковая поверхность S бок. =P осн. ∙Н или S бок. =2 (a+b)·c;

3) Полная поверхность S полн. =2S осн. +S бок. или

S полн. =2 (ab+ac+bc);

4) Объем прямоугольного параллелепипеда V=S осн. ∙Н илиV=abc.

1) Все грани куба – квадраты со стороной а.

2) Диагональ куба d=a√3.

3) Боковая поверхность куба S бок. =4а 2 ;

4) Полная поверхность куба S полн. =6а 2 ;

5) Объем куба V=a 3 .

Прямой параллелепипед (в основании лежит параллелограмм или ромб, боковое ребро перпендикулярно основанию).

1) Боковая поверхность S бок. =P осн. ∙Н.

2) Полная поверхность S полн. =2S осн. +S бок.

3) Объем прямого параллелепипеда V=S осн. ∙Н.

Наклонный параллелепипед.

В основании параллелограмм или прямоугольник или ромб или квадрат, а боковые ребра НЕ перпендикулярны плоскости основания.

1) Объем V=S осн. ∙Н;

2) Объем V=S сеч. ∙l , где l — боковое ребро, S сеч. -площадь сечения наклонного параллелепипеда, проведенного перпендикулярно боковому ребру l .

Прямая призма.

Боковая поверхность S бок. =P осн. ∙Н;

Полная поверхность S полн. =2S осн. +S бок. ;

Объем прямой призмы V=S осн. ∙Н.

Наклонная призма.

Боковая и полная поверхности, а также объем можно находить по тем же формулам, что и в случае прямой призмы. Если известна площадь сечения призмы, перпендикулярного ее боковому ребру, то объем V=S сеч. ∙l, где l- боковое ребро, S сеч. -площадь сечения, перпендикулярного боковому ребру l .

Пирамида.

1) боковая поверхность S бок. равна сумме площадей боковых граней пирамиды;

2) полная поверхность S полн. =S осн. +S бок. ;

3) объем V=(1/3) S осн. ∙Н.

4) У правильной пирамиды в основании лежит правильный многоугольник, а вершина пирамиды проектируется в центр этого многоугольника, т. е. в центр описанной и вписанной окружностей.

5) Апофема l –это высота боковой грани правильной пирамиды. Боковая поверхность правильной пирамиды S бок. =(½) P осн. ∙l .

Теорема о трех перпендикулярах.

Прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярно ее проекции, перпендикулярна и самой наклонной.

Обратная теорема. Если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции этой наклонной.

Усеченная пирамида.

Если S и s соответственно площади оснований усеченной пирамиды, то объем любой усеченной пирамиды

где h-высота усеченной пирамиды.

Боковая поверхность правильной усеченной пирамиды

где P и p соответственно периметры оснований правильной усеченной пирамиды,

l -апофема (высота боковой грани правильной усеченной пирамиды).

Цилиндр.

Боковая поверхность S бок. =2πRH;

Полная поверхность S полн. =2πRH+2πR 2 или S полн. =2πR (H+R);

Объем цилиндра V=πR 2 H.

Конус.

Боковая поверхность S бок. = πRl ;

Полная поверхность S полн. =πRl +πR 2 или S полн. =πR (l +R);

Объем пирамиды V=(1/3)πR 2 H. Здесь l – образующая, R — радиус основания, H – высота.

Шар и сфера.

Площадь сферы S=4πR 2 ; Объем шара V=(4/3)πR 3 .

R – радиус сферы (шара).