В приложениях теории вероятностей основное значение имеет количественная характеристика эксперимента. Величина, которая может быть количественно определена и которая в результате эксперимента может принимать в зависимости от случая различные значения, называется случайной величиной.

Примеры случайных величин:

1. Число выпадений четного числа очков при десяти бросаниях игральной кости.

2. Число попаданий в мишень стрелком, который производит серию выстрелов.

3. Число осколков разорвавшегося снаряда.

В каждом из приведенных примеров случайная величина может принимать лишь изолированные значения, то есть значения, которые можно пронумеровать с помощью натурального ряда чисел.

Такая случайная величина, возможные значения которой есть отдельные изолированные числа, которые эта величина принимает с определенными вероятностями, называется дискретной.

Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным (счетным).

Законом распределения дискретной случайной величины называют перечень её возможных значений и соответствующих им вероятностей. Закон распределения дискретной случайной величины можно задать в виде таблицы (ряд распределения вероятностей), аналитически и графически (многоугольник распределения вероятностей).

При осуществлении того или иного эксперимента возникает необходимость оценивать изучаемую величину «в среднем». Роль среднего значения случайной величины играет числовая характеристика, называемая математическим ожиданием, которая определяется формулой

где x 1 , x 2 ,.. , x n – значения случайной величины X , а p 1 , p 2 , ... , p n – вероятности этих значений (заметим, что p 1 + p 2 +…+ p n = 1).

Пример. Производится стрельба по мишени (рис. 11).

Попадание в I дает три очка, в II – два очка, в III – одно очко. Число очков, выбиваемых при одном выстреле одним стрелком, имеет закон распределения вида

Для сравнения мастерства стрелков достаточно сравнить средние значения выбиваемых очков, т.е. математические ожидания M (X ) и M (Y ):

M (X ) = 1 0,4 + 2  0,2 + 3  0,4 = 2,0,

M (Y ) = 1 0,2 + 2  0,5 + 3  0,3 = 2,1.

Второй стрелок дает в среднем несколько большее число очков, т.е. при многократной стрельбе он будет давать лучший результат.

Отметим свойства математического ожидания:

1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:

M (C ) = C .

2. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:

M = (X 1 + X 2 +…+ X n )= M (X 1)+ M (X 2)+…+ M (X n ).

3. Математическое ожидание произведения взаимно независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий cомножителей

M (X 1 X 2 … X n ) = M (X 1)M (X 2)… M (X n ).

4. Математическое отрицание биноминального распределения равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в одном испытании (задача 4.6).

M (X ) = пр .

Для оценки того, каким образом случайная величина «в среднем» уклоняется от своего математического ожидания, т.е. для того чтобы охарактеризовать разброс значений случайной величины в теории вероятностей служит понятие дисперсии.

Дисперсией случайной величины X называют математическое ожидание квадрата отклонения:

D (X ) = M [(X - M (X )) 2 ].

Дисперсия является числовой характеристикой рассеивания случайной величины. Из определения видно, что чем меньше дисперсия случайной величины, тем кучнее располагаются её возможные значения около математического ожидания, то есть тем лучше значения случайной величины характеризуются её математическим ожиданием.

Из определения следует, что дисперсия может быть вычислена по формуле

.

Дисперсию удобно вычислять по другой формуле:

D (X ) = M (X 2) - (M (X )) 2 .

Дисперсия обладает следующими свойствами:

1. Дисперсия постоянной равна нулю:

D (C ) = 0.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:

D (CX ) = C 2 D (X ).

3. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсии слагаемых:

D (X 1 + X 2 + X 3 +…+ X n )= D (X 1)+ D (X 2)+…+ D (X n )

4. Дисперсия биномиального распределения равна произведению числа испытаний на вероятность появления и непоявления события в одном испытании:

D (X ) = npq .

В теории вероятностей часто используется числовая характеристика, равная корню квадратному из дисперсии случайной величины. Эта числовая характеристика называется средним квадратным отклонением и обозначается символом

.

Она характеризует примерный размер уклонения случайной величины от её среднего значения и имеет одинаковую со случайной величиной размерность.

4.1. Стрелок проводит по мишени три выстрела. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна 0,3.

Построить ряд распределения числа попаданий.

Решение . Число попаданий является дискретной случайной величиной X . Каждому значению x n случайной величины X отвечает определенная вероятность P n .

Закон распределения дискретной случайной величины в данном случае можно задать рядом распределения .

В данной задаче X принимает значения 0, 1, 2, 3. По формуле Бернулли

,

найдем вероятности возможных значений случайной величины:

Р 3 (0) = (0,7) 3 = 0,343,

Р 3 (1) =0,3(0,7) 2 = 0,441,

Р 3 (2) =(0,3) 2 0,7 = 0,189,

Р 3 (3) = (0,3) 3 = 0,027.

Расположив значения случайной величины X в возрастающем порядке, получим ряд распределения:

Заметим, что сумма

означает вероятность того, что случайная величина X примет хотя бы одно значение из числа возможных, а это событие достоверное, поэтому

.

4.2 .В урне имеются четыре шара с номерами от 1 до 4. Вынули два шара. Случайная величинаX – сумма номеров шаров. Построить ряд распределения случайной величиныX .

Решение. Значениями случайной величиныX являются 3, 4, 5, 6, 7. Найдем соответствующие вероятности. Значение 3 случайной величиныX может принимать в единственном случае, когда один из выбранных шаров имеет номер 1, а другой 2. Число всевозможных исходов испытания равно числу сочетаний из четырех (число возможных пар шаров) по два.

По классической формуле вероятности получим

Аналогично,

Р (Х = 4) =Р (Х = 6) =Р (Х = 7) = 1/6.

Сумма 5 может появиться в двух случаях: 1 + 4 и 2 + 3, поэтому

.

Х имеет вид:

Найти функцию распределения F (x ) случайной величиныX и построить ее график. Вычислить дляX ее математическое ожидание и дисперсию.

Решение . Закон распределения случайной величины может быть задан функцией распределения

F (x ) = P (X  x ).

Функция распределения F (x ) – неубывающая, непрерывная слева функция, определенная на всей числовой оси, при этом

F (- )= 0,F (+ )= 1.

Для дискретной случайной величины эта функция выражается формулой

.

Поэтому в данном случае

График функции распределения F (x ) представляет собой ступенчатую линию (рис. 12)

Математическое ожидание М (Х ) является взвешенной средней арифметической значенийх 1 , х 2 ,……х n случайной величиныХ при весахρ 1, ρ 2, …… , ρ n и называется средним значением случайной величиныХ . По формуле

М (Х ) = х 1 ρ 1 + х 2 ρ 2 + ……+ х n ρ n

М (Х ) = 3·0,14+5·0,2+7·0,49+11·0,17 = 6,72.

Дисперсия характеризует степень рассеяния значений случайной величины от своего среднего значения и обозначаетсяD (Х ):

D (Х ) =М [(Х-М (Х )) 2 ] = М (Х 2) –[М (Х )] 2 .

Для дискретной случайной величины дисперсия имеет вид

или она может быть вычислена по формуле

Подставляя числовые данные задачи в формулу, получим:

М (Х 2) = 3 2 ∙ 0,14+5 2 ∙ 0,2+7 2 ∙ 0,49+11 2 ∙ 0,17 = 50,84

D (Х ) = 50,84-6,72 2 = 5,6816.

4.4. Две игральные кости одновременно бросают два раза. Написать биномиальный закон распределения дискретной случайной величиныХ - числа выпадений четного суммарного числа очков на двух игральных костях.

Решение . Введем в рассмотрение случайное событие

А = {на двух костях при одном бросании выпало в сумме четное число очков}.

Используя классическое определение вероятности найдем

Р (А )= ,

где n - число всевозможных исходов испытания находим по правилу

умножения:

n = 6∙6 =36,

m - число благоприятствующих событиюА исходов - равно

m = 3∙6=18.

Таким образом, вероятность успеха в одном испытании равна

ρ = Р (А )= 1/2.

Задача решается с применением схемы испытаний Бернулли. Одним испытанием здесь будет бросание двух игральных костей один раз. Число таких испытаний n = 2. Случайная величинаХ принимает значения 0, 1, 2 с вероятностями

Р 2 (0) =,Р 2 (1) =∙,Р 2 (2) =

Искомое биноминальное распределение случайной величины Х можно представить в виде ряда распределения:

4.5 . В партии из шести деталей имеется четыре стандартных. Наудачу отобраны три детали. Составить распределение вероятностей дискретной случайной величиныХ – числа стандартных деталей среди отобранных и найти ее математическое ожидание.

Решение. Значениями случайной величиныХ являются числа 0,1,2,3. Ясно, чтоР (Х =0)=0, поскольку нестандартных деталей всего две.

Р (Х =1) =
=1/5,

Р (Х= 2) =
= 3/5,

Р (Х =3) =
= 1/5.

Закон распределения случайной величины Х представим в виде ряда распределения:

Математическое ожидание

М (Х )=1 ∙ 1/5+2 ∙ 3/5+3 ∙ 1/5=2.

4.6 . Доказать, что математическое ожидание дискретной случайной величиныХ - числа появлений событияА вn независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равнаρ – равно произве-дению числа испытаний на вероятность появления события в одном испыта-нии, то есть доказать, что математическое ожидание биноминального распределения

М (Х ) =n . ρ ,

а дисперсия

D (X ) =np .

Решение. Случайная величинаХ может принимать значения 0, 1, 2…,n . ВероятностьР (Х = к) находится по формуле Бернулли:

Р (Х =к)=Р n (к)=ρ к (1-ρ ) n- к

Ряд распределения случайной величины Х имеет вид:

где q = 1- ρ .

Для математического ожидания имеем выражение:

М (Х )=ρq n - 1 +2 ρ 2 q n - 2 +…+.n ρ n

В случае одного испытания, то есть при n = 1для случайной величиныХ 1 –числа появлений событияА - ряд распределения имеет вид:

M (X 1)= 0 ∙ q+ 1 ∙ p = p

D (X 1) = p – p 2 = p (1- p ) = pq .

Если Х к – число появлений событияА в к-ом испытании, тоР (Х к )= ρ и

Х=Х 1 +Х 2 +….+Х n .

Отсюда получаем

М (Х )=М (Х 1 )+М (Х 2)+ … +М (Х n )= nρ ,

D (X )=D (X 1)+D (X 2)+ ... +D (X n )=npq.

4.7. ОТК проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно, равна 0,9. В каждой партии содержится 5 изделий. Найти математическое ожидание дискретной случайной величиныХ -числа партий, в каждой из которых окажется равно 4 стандартных изделия – если проверке подлежит 50 партий.

Решение . Вероятность того, что в каждой произвольно выбранной партии окажется 4 стандартных изделия, постоянна; обозначим ее черезρ .Тогда математическое ожидание случайной величиныХ равноМ (Х )= 50∙ρ.

Найдем вероятность ρ по формуле Бернулли:

ρ=Р 5 (4)== 0,94∙0,1=0,32.

М (Х )= 50∙0,32=16.

4.8 . Бросаются три игральные кости. Найти математическое ожидание суммы выпавших очков.

Решение. Можно найти распределение случайной величиныХ - суммы выпавших очков и затем ее математическое ожидание. Однако такой путь слишком громоздок. Проще использовать другой прием, представляя случайную величинуХ , математическое ожидание которой требуется вычислить, в виде суммы нескольких более простых случайных величин, математическое ожидание которых вычислить легче. Если случайная величинаХ i – это число очков, выпавших наi – й кости (i = 1, 2, 3), то сумма очковХ выразится в виде

Х = Х 1 + Х 2 + Х 3 .

Для вычисления математического ожидания исходной случайной величины останется лишь воспользоваться свойством математического ожидании

М (Х 1 + Х 2 + Х 3 ) = М (Х 1 ) + М (Х 2) + М (Х 3 ).

Очевидно, что

Р (Х i = К )= 1/6, К = 1, 2, 3, 4, 5, 6, i = 1, 2, 3.

Следовательно, математическое ожидание случайной величины Х i имеет вид

М (Х i ) = 1/6∙1 + 1/6∙2 +1/6∙3 + 1/6∙4 + 1/6∙5 + 1/6∙6 = 7/2,

М (Х ) = 3∙7/2 = 10,5.

4.9. Определить математическое ожидание числа приборов, отказавших в работе за время испытаний, если:

а) вероятность отказа для всех приборов одна и та же равна р , а число испытуемых приборов равно n ;

б) вероятность отказа для i – го прибора равна p i , i = 1, 2, … , n .

Решение. Пусть случайная величина Х – число отказавших приборов, тогда

Х = Х 1 + Х 2 + … + Х n ,

X i =

Ясно, что

Р (Х i = 1)= Р i , Р (Х i = 0)= 1– Р i , i= 1, 2, … , n.

М (Х i )= 1∙Р i + 0∙(1–Р i )=Р i ,

М (Х )=М (Х 1)+М (Х 2)+ … +М (Х n )=Р 1 +Р 2 + … +Р n .

В случае «а» вероятность отказа приборов одна и та же, то есть

Р i =p , i= 1, 2, … , n .

М (Х )= np .

Этот ответ можно было получить сразу, если заметить, что случайная величина Х имеет биномиальное распределение с параметрами (n , p ).

4.10. Две игральные кости бросают одновременно два раза. Написать биномиальный закон распределения дискретной случайной величины Х – числа выпадения четного числа очков на двух игральных костях.

Решение. Пусть

А ={выпадение четного числа на первой кости},

В = {выпадение четного числа на второй кости}.

Выпадение четного числа на обеих костях при одном бросании выразится произведением АВ. Тогда

Р (АВ ) = Р (А )∙Р (В ) =
.

Результат второго бросания двух игральных костей не зависит от первого, поэтому применима формула Бернулли при

n = 2, р = 1/4, q = 1 – р = 3/4.

Случайная величина Х может принимать значения 0, 1, 2, вероятность которых найдем по формуле Бернулли:

Р (Х= 0) = Р 2 (0) = q 2 = 9/16,

Р (Х= 1) = Р 2 (1) = С , р ∙q = 6/16,

Р (Х= 2) = Р 2 (2) = С , р 2 = 1/16.

Ряд распределения случайной величины Х:

4.11. Устройство состоит из большого числа независимо работающих элементов с одинаковой очень малой вероятностью отказа каждого элемента за время t . Найти среднее число отказавших за время t элементов, если вероятность того, что за это время откажет хотя бы один элемент, равна 0,98.

Решение. Число отказавших за время t элементов – случайная величина Х , которая распределена по закону Пуассона, поскольку число элементов велико, элементы работают независимо и вероятность отказа каждого элемента мала. Среднее число появлений события в n испытаниях равно

М (Х ) = np .

Поскольку вероятность отказа К элементов из n выражается формулой

Р n (К )
,

где  = np , то вероятность того, что не откажет ни один элемент за время t получим при К = 0:

Р n (0) = е -  .

Поэтому вероятность противоположного события – за время t откажет хотя бы один элемент – равна 1 - е -  . По условию задачи эта вероятность равна 0,98. Из уравнения

1 - е -  = 0,98,

е -  = 1 – 0,98 = 0,02,

отсюда  = -ln 0,02  4.

Итак, за время t работы устройства откажет в среднем 4 элемента.

4.12 . Игральная кость бросается до тех пор, пока не выпадет «двойка». Найти среднее число бросаний.

Решение . Введем случайную величину Х – число испытаний, которое надо произвести, пока интересующее нас событие не наступит. Вероятность того, что Х = 1 равна вероятности того, что при одном бросании кости выпадет «двойка», т.е.

Р (Х= 1) = 1/6.

Событие Х = 2 означает, что при первом испытании «двойка» не выпала, а при втором выпала. Вероятность событияХ = 2 находим по правилу умножения вероятностей независимых событий:

Р (Х= 2) = (5/6)∙(1/6)

Аналогично,

Р (Х= 3) = (5/6) 2 ∙1/6, Р (Х= 4) = (5/6) 2 ∙1/6

и т.д. Получим ряд распределения вероятностей:

Среднее число бросаний (испытаний) есть математическое ожидание

М (Х ) = 1∙1/6 + 2∙5/6∙1/6 + 3∙(5/6) 2 ∙1/6 + … + К (5/6) К -1 ∙1/6 + … =

1/6∙(1+2∙5/6 +3∙(5/6) 2 + … + К (5/6) К -1 + …)

Найдем сумму ряда:

К g К -1 = (g К ) g 
.

Следовательно,

М (Х ) = (1/6) (1/ (1 – 5/6) 2 = 6.

Таким образом, нужно осуществить в среднем 6 бросаний игральной кости до тех пор, пока не выпадет «двойка».

4.13. Производятся независимые испытания с одинаковой вероятностью появления события А в каждом испытании. Найти вероятность появления события А , если дисперсия числа появлений события в трех независимых испытаниях равна 0,63.

Решение. Число появлений события в трех испытаниях является случайной величиной Х , распределенной по биномиальному закону. Дисперсия числа появлений события в независимых испытаниях (с одинаковой вероятностью появления события в каждом испытании) равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события (задача 4.6)

D (Х ) = npq .

По условию n = 3, D (Х ) = 0,63, поэтому можно р найти из уравнения

0,63 = 3∙р (1-р ),

которое имеет два решения р 1 = 0,7 и р 2 = 0,3.

Определение 1

Случайная величина $Х$ называется дискретной (прерывной), если множество ее значений бесконечное или конечное, но счетное.

Другими словами, величина называется дискретной, если ее значения можно занумеровать.

Описать случайную величину можно с используя закона распределения.

Закон распределения дискретной случайной величины $Х$ может быть задан в виде таблицы, в первой строке которой указаны все возможные значения случайной величины в порядке возрастания, а во второй строке соответствующие вероятности этих значений:

Рисунок 1.

где $р1+ р2+ ... + рn = 1$.

Даная таблица является рядом распределения дискретной случайной величины .

Если множество возможных значений случайной величины бесконечно, то ряд $р1+ р2+ ... + рn+ ...$ сходится и его сумма будет равна $1$.

Закон распределения дискретной случайной величины $Х$ можно представить графически, для чего в системе координат (прямоугольной) строят ломаную линию, которая последовательно соединяет точки с координатами $(xi;pi), i=1,2, ... n$. Линию, которую получили называют многоугольником распределения .

Рисунок 2.

Закон распределения дискретной случайной величины $Х$ может быть также представлен аналитически (с помощью формулы):

$P(X=xi)= \varphi (xi),i =1,2,3 ... n$.

Действия над дискретными вероятностями

При решении многих задач теории вероятности необходимо проводить операции умножения дискретной случайной величины на константу , сложения двух случайных величин, их умножения, поднесения к степени. В этих случаях необходимо придерживаться таких правил над случайными дискретными величинами:

Определение 3

Умножением дискретной случайной величины $X$ на константу $K$ называется дискретная случайная величина $Y=KX,$ которая обусловлена равенствами: $y_i=Kx_i,\ \ p\left(y_i\right)=p\left(x_i\right)=p_i,\ \ i=\overline{1,\ n}.$

Определение 4

Две случайные величины $x$ и $y$ называются независимыми , если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приобрела вторая величина.

Определение 5

Суммой двух независимых дискретных случайных величин $X$ и $Y$ называют случайную величину $Z=X+Y,$ обусловлена равенствами: $z_{ij}=x_i+y_j$, $P\left(z_{ij}\right)=P\left(x_i\right)P\left(y_j\right)=p_ip"_j$, $i=\overline{1,n}$, $j=\overline{1,m}$, $P\left(x_i\right)=p_i$, $P\left(y_j\right)=p"_j$.

Определение 6

Умножением двух независимых дискретных случайных величин $X$ и $Y$ называют случайную величину $Z=XY,$ обусловлена равенствами: $z_{ij}=x_iy_j$, $P\left(z_{ij}\right)=P\left(x_i\right)P\left(y_j\right)=p_ip"_j$, $i=\overline{1,n}$, $j=\overline{1,m}$, $P\left(x_i\right)=p_i$, $P\left(y_j\right)=p"_j$.

Примем во внимание, что некоторые произведения $x_{i\ \ \ \ \ }y_j$ могут быть равными между собой. В таком случае вероятность сложения произведения равна сумме соответствующих вероятностей.

Например, если $x_2\ \ y_3=x_5\ \ y_7,\ $то вероятность $x_2y_3$ (или тоже самое $x_5y_7$) будет равна $p_2\cdot p"_3+p_5\cdot p"_7.$

Сказанное выше касается также и суммы. Если $x_1+\ y_2=x_4+\ \ y_6,$ то вероятность $x_1+\ y_2$ (или тоже самое $x_4+\ y_6$) будет равняться $p_1\cdot p"_2+p_4\cdot p"_6.$

Пусnm случайные величины $X$ и $Y$ заданы законами распределения:

Рисунок 3.

Где $p_1+p_2+p_3=1,\ \ \ p"_1+p"_2=1.$ Тогда закон распределения сумы $X+Y$ будет иметь вид

Рисунок 4.

А закон распределения произведения $XY$ будет иметь вид

Рисунок 5.

Фунция распределения

Полное описание случайной величины дает также функция распределения.

Геометрически функция распределения разъясняется как вероятность того, что случайная величина $Х$ принимает значение, которое на числовой прямой изображается точкой, лежащей с левой стороны от точки $х$.

X задана законом распределения вероятностей: Тогда ее среднее квадратическое отклонение равно … 0,80

Решение:
Среднее квадратическое отклонение случайной величины Х определяется как , где дисперсию дискретной случайной величины можно вычислить по формуле .Тогда , а

Решение:
A (вынутый наудачу шар – черный) применим формулу полной вероятности: .Здесь вероятность того, что из первой урны переложили во вторую урну белый шар; – вероятность того, что из первой урны переложили во вторую урну черный шар; – условная вероятность того, что вынутый шар черный, если из первой урны во вторую был переложен белый шар; – условная вероятность того, что вынутый шар черный, если из первой урны во вторую был переложен черный шар.

Дискретная случайная величина Х задана законом распределения вероятностей: Тогда вероятность равна …

Решение:
Дисперсию дискретной случайной величины можно вычислить по формуле . Тогда

Или . Решив последнее уравнение, получаем два корня и

Тема: Определение вероятности
В партии из 12 деталей имеется 5 бракованных. Наудачу отобраны три детали. Тогда вероятность того, что среди отобранных деталей нет годных, равна …

Решение:
Для вычисления события А (среди отобранных деталей нет годных) воспользуемся формулой где n m – число элементарных исходов, благоприятствующих появлению события А. нашем случае общее число возможных элементарных исходов равно числу способов, которыми можно извлечь три детали из 12 имеющих, то есть .

А общее число благоприятствующих исходов равно числу способов, которыми можно извлечь три бракованные детали из пяти, то есть .

Банк выдает 44% всех кредитов юридическим лицам, а 56% – физическим лицам. Вероятность того, что юридическое лицо не погасит в срок кредит, равна 0,2; а для физического лица эта вероятность составляет 0,1. Тогда вероятность того, что очередной кредит будет погашен в срок, равна …

Решение:
Для вычисления вероятности события A (выданный кредит будет погашен в срок) применим формулу полной вероятности: . Здесь – вероятность того, что кредит был выдан юридическому лицу; – вероятность того, что кредит был выдан физическому лицу; – условная вероятность того, что кредит будет погашен в срок, если он был выдан юридическому лицу; – условная вероятность того, что кредит будет погашен в срок, если он был выдан физическому лицу. Тогда

Тема: Законы распределения вероятностей дискретных случайных величин
Для дискретной случайной величины Х

Тема: Определение вероятности
Игральная кость бросается два раза. Тогда вероятность того, что сумма выпавших очков не меньше девяти, равна …

Решение:
Для вычисления события (сумма выпавших очков будет не меньше девяти) воспользуемся формулой , где – общее число возможных элементарных исходов испытания, а m – число элементарных исходов, благоприятствующих появлению события A . В нашем случае возможны элементарных исходов испытания, из которых благоприятствующими являются исходы вида , , , , , , , и , то есть . Следовательно,

Тема: Законы распределения вероятностей дискретных случайных величин

функция распределения вероятностей имеет вид:

Тогда значение параметра может быть равно …

Решение:
По определению . Следовательно, и . Этим условиям удовлетворяет, например, значение

Тема: Числовые характеристики случайных величин
Непрерывная случайная величина задана функцией распределения вероятностей:

Тогда ее дисперсия равна …

Решение:
Эта случайная величина распределена равномерно в интервале . Тогда ее дисперсию можно вычислить по формуле . То есть

Тема: Полная вероятность. Формулы Байеса
В первой урне 6 черных шаров и 4 белых шара. Во второй урне 2 белых и 8 черных шаров. Из наудачу взятой урны вынули один шар, который оказался белым. Тогда вероятность того, что этот шар вынули из первой урны, равна …

Решение:
A (вынутый наудачу шар – белый) по формуле полной вероятности: . Здесь – вероятность того, что шар извлечен из первой урны; – вероятность того, что шар извлечен из второй урны; – условная вероятность того, что вынутый шар белый, если он извлечен из первой урны; – условная вероятность того, что вынутый шар белый, если он извлечен из второй урны.
Тогда .
Теперь вычислим условную вероятность того, что этот шар был извлечен из первой урны, по формуле Байеса:

Тема: Числовые характеристики случайных величин
Дискретная случайная величина X задана законом распределения вероятностей:

Тогда ее дисперсия равна …

Решение:
Дисперсию дискретной случайной величины можно вычислить по формуле

Тема: Законы распределения вероятностей дискретных случайных величин

Решение:
По определению . Тогда
а) при , ,
б) при , ,
в) при , ,
г) при , ,
д) при , .
Следовательно,

Тема: Определение вероятности
Внутрь круга радиуса 4 наудачу брошена точка. Тогда вероятность того, что точка окажется вне вписанного в круг квадрата, равна …

Тема: Определение вероятности
В партии из 12 деталей имеется 5 бракованных. Наудачу отобраны три детали. Тогда вероятность того, что среди отобранных деталей нет бракованных, равна …

Решение:
Для вычисления события (среди отобранных деталей нет бракованных) воспользуемся формулой , где n – общее число возможных элементарных исходов испытания, а m – число элементарных исходов, благоприятствующих появлению события . В нашем случае общее число возможных элементарных исходов равно числу способов, которыми можно извлечь три детали из 12 имеющих, то есть . А общее число благоприятствующих исходов равно числу способов, которыми можно извлечь три небракованные детали из семи, то есть . Следовательно,

Тема: Полная вероятность. Формулы Байеса

Решение:
Для вычисления вероятности события A
Тогда

Тема: Законы распределения вероятностей дискретных случайных величин
Дискретная случайная величина задана законом распределения вероятностей:

Тогда вероятность равна …

Решение:
Воспользуемся формулой . Тогда

Тема: Полная вероятность. Формулы Байеса

Решение:
Предварительно вычислим вероятность события A
.
.

Тема: Числовые характеристики случайных величин

Тогда ее математическое ожидание равно …

Решение:
Воспользуемся формулой . Тогда .

Тема: Определение вероятности

Решение:

Тема: Числовые характеристики случайных величин
Непрерывная случайная величина задана плотностью распределения вероятностей . Тогда математическое ожидание a и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины равны …

Решение:
Плотность распределения вероятностей нормально распределенной случайной величины имеет вид , где , . Поэтому .

Тема: Законы распределения вероятностей дискретных случайных величин
Дискретная случайная величина задана законом распределения вероятностей:

Тогда значения a и b могут быть равны …

Решение:
Так как сумма вероятностей возможных значений равна 1, то . Этому условию удовлетворяет ответ: .

Тема: Определение вероятности
В круг радиуса 8 помещен меньший круг радиуса 5. Тогда вероятность того, что точка, наудачу брошенная в больший круг, попадет также и в меньший круг, равна …

Решение:
Для вычисления вероятности искомого события воспользуемся формулой , где – площадь меньшего круга, а – площадь большего круга. Следовательно, .

Тема: Полная вероятность. Формулы Байеса
В первой урне 3 черных шара и 7 белых шаров. Во второй урне 4 белых шара и 5 черных шаров. Из первой урны переложили один шар во вторую урну. Тогда вероятность того, что шар, вынутый наудачу из второй урны, будет белым, равна …

Решение:
Для вычисления вероятности события A (вынутый наудачу шар – белый) применим формулу полной вероятности: . Здесь – вероятность того, что из первой урны переложили во вторую урну белый шар; – вероятность того, что из первой урны переложили во вторую урну черный шар; – условная вероятность того, что вынутый шар белый, если из первой урны во вторую был переложен белый шар; – условная вероятность того, что вынутый шар белый, если из первой урны во вторую был переложен черный шар.
Тогда

Тема: Законы распределения вероятностей дискретных случайных величин
Для дискретной случайной величины :

функция распределения вероятностей имеет вид:

Тогда значение параметра может быть равно …

ЗАДАНИЕ N 10 сообщить об ошибке
Тема: Полная вероятность. Формулы Байеса
Банк выдает 70% всех кредитов юридическим лицам, а 30% – физическим лицам. Вероятность того, что юридическое лицо не погасит в срок кредит, равна 0,15; а для физического лица эта вероятность составляет 0,05. Получено сообщение о невозврате кредита. Тогда вероятность того, что этот кредит не погасило юридическое лицо, равна …

Решение:
Предварительно вычислим вероятность события A (выданный кредит не будет погашен в срок) по формуле полной вероятности: . Здесь – вероятность того, что кредит был выдан юридическому лицу; – вероятность того, что кредит был выдан физическому лицу; – условная вероятность того, что кредит не будет погашен в срок, если он был выдан юридическому лицу; – условная вероятность того, что кредит не будет погашен в срок, если он был выдан физическому лицу. Тогда
.
Теперь вычислим условную вероятность того, что этот кредит не погасило юридическое лицо, по формуле Байеса:
.

ЗАДАНИЕ N 11 сообщить об ошибке
Тема: Определение вероятности
В партии из 12 деталей имеется 5 бракованных. Наудачу отобраны три детали. Тогда вероятность того, что среди отобранных деталей нет годных, равна …

Решение:
Для вычисления события (среди отобранных деталей нет годных) воспользуемся формулой , где n – общее число возможных элементарных исходов испытания, а m – число элементарных исходов, благоприятствующих появлению события . В нашем случае общее число возможных элементарных исходов равно числу способов, которыми можно извлечь три детали из 12 имеющих, то есть . А общее число благоприятствующих исходов равно числу способов, которыми можно извлечь три бракованные детали из пяти, то есть . Следовательно,

ЗАДАНИЕ N 12 сообщить об ошибке
Тема: Числовые характеристики случайных величин
Непрерывная случайная величина задана плотностью распределения вероятностей:

Тогда ее дисперсия равна …

Решение:
Дисперсию непрерывной случайной величины можно вычислить по формуле

Тогда

Тема: Законы распределения вероятностей дискретных случайных величин
Дискретная случайная величина задана законом распределения вероятностей:

Тогда ее функция распределения вероятностей имеет вид …

Решение:
По определению . Тогда
а) при , ,
б) при , ,
в) при , ,
г) при , ,
д) при , .
Следовательно,

Тема: Полная вероятность. Формулы Байеса
Имеются три урны, содержащие по 5 белых и 5 черных шаров, и семь урн, содержащих по 6 белых и 4 черных шара. Из наудачу взятой урны вытаскивается один шар. Тогда вероятность того, что этот шар белый, равна …

Решение:
Для вычисления вероятности события A (вынутый наудачу шар – белый) применим формулу полной вероятности: . Здесь – вероятность того, что шар извлечен из первой серии урн; – вероятность того, что шар извлечен из второй серии урн; – условная вероятность того, что вынутый шар белый, если из он извлечен из первой серии урн; – условная вероятность того, что вынутый шар белый, если из он извлечен из второй серии урн.
Тогда .

Тема: Законы распределения вероятностей дискретных случайных величин
Дискретная случайная величина задана законом распределения вероятностей:

Тогда вероятность равна …

Тема: Определение вероятности
Игральная кость бросается два раза. Тогда вероятность того, что сумма выпавших очков – десять, равна …

Глава 1. Дискретная случайная величина

§ 1.Понятия случайной величины.

Закон распределения дискретной случайной величины.

Определение : Случайной называется величина, которая в результате испытания принимает только одно значение из возможного множества своих значение, наперед неизвестное и зависящее от случайных причин.

Различают два вида случайных величин: дискретные и непрерывные.

Определение : Случайная величина Х называется дискретной (прерывной), если множество ее значений конечное или бесконечное, но счетное.

Другими словами, возможные значения дискретной случайной величину можно перенумеровать.

Описать случайную величину можно с помощью ее закона распределения.

Определение : Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями.

Закон распределения дискретной случайной величины Х может быть задан в виде таблицы, в первой строке которой указаны в порядке возрастания все возможные значения случайной величины, а во второй строке соответствующие вероятности этих значений, т. е.

где р1+ р2+…+ рn=1

Такая таблица называется рядом распределения дискретной случайной величины.

Если множество возможных значений случайной величины бесконечно, то ряд р1+ р2+…+ рn+… сходится и его сумма равна 1.

Закон распределения дискретной случайной величины Х можно изобразить графически, для чего в прямоугольной системе координат строят ломаную, соединяющую последовательно точки с координатами (xi;pi), i=1,2,…n. Полученную линию называют многоугольником распределения (рис.1).

Органическая хиимя" href="/text/category/organicheskaya_hiimya/" rel="bookmark">органической химии соответственно равны 0,7 и 0,8. Составить закон распределения случайной величины Х - числа экзаменов, которые сдаст студент.

Решение. Рассматриваемая случайная величина X в результате экзамена может принять одно из следующих значений:x1=0, x2=1, х3=2.

Найдем вероятность этих значений.Обозначим события:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image004_81.jpg" width="259" height="66 src=">

Итак, закон распределения случайной величины Х задается таблицей:

Контроль:0,6+0,38+0,56=1.

§ 2. Функция распределения

Полное описание случайной величины дает также функция распределения.

Определение: Функцией распределения дискретной случайной величины Х называется функция F(x), определяющая для каждого значения х вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньше х:

F(x)=Р(Х<х)

Геометрически функция распределения интерпретируется как вероятность того, что случайная величина Х примет значение, которое изображается на числовой прямой точкой, лежащей левее точки х.

1)0≤ F(x) ≤1;

2) F(x)- неубывающая функция на (-∞;+∞);

3) F(x)- непрерывна слева в точках х= xi (i=1,2,…n) и непрерывна во всех остальных точках;

4) F(-∞)=Р (Х<-∞)=0 как вероятность невозможного события Х<-∞,

F(+∞)=Р(Х<+∞)=1 как вероятность достоверного события Х<-∞.

Если закон распределения дискретной случайной величины Х задан в виде таблицы:

то функция распределения F(x) определяется формулой:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110">

0 при х≤ x1,

р1 при x1< х≤ x2,

F(x)= р1 + р2 при x2< х≤ х3

1 при х> хn.

Её график изображен на рис.2:

§ 3. Числовые характеристики дискретной случайной величины.

К числу важных числовых характеристик относится математическое ожидание.

Определение : Математическим ожиданием М(Х) дискретной случайной величины Х называется сумма произведений всех ее значений на соответствующие им вероятности:

М(Х)= ∑ xiрi= x1р1 + x2р2+…+ xnрn

Математическое ожидание служит характеристикой среднего значения случайной величины.

Свойства математического ожидания:

1)M(C)=C, где С-постоянная величина;

2)М(С Х)=С М(Х),

3)М(Х±Y)=М(Х) ±M(Y);

4)M(X Y)=M(X) M(Y), где X, Y - независимые случайные величины;

5)M(X±C)=M(X)±C, где С-постоянная величина;

Для характеристики степени рассеивания возможных значений дискретной случайной величины вокруг ее среднего значения служит дисперсия .

Определение : Дисперсией D ( X ) случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

Свойства дисперсии:

1)D(C)=0, где С-постоянная величина;

2)D(X)>0, где Х - случайная величина;

3)D(C X)=C2 D(X), где С-постоянная величина;

4)D(X+Y)=D(X)+D(Y), где X, Y - независимые случайные величины;

Для вычисления дисперсии часто бывает удобно пользоваться формулой:

D(X)=M(X2)-(M(X))2,

где М(Х)=∑ xi2рi= x12р1 + x22р2+…+ xn2рn

Дисперсия D(X) имеет размерность квадрата случайной величины, что не всегда удобно. Поэтому в качестве показателя рассеяния возможных значений случайной величины используют также величину √D(X).

Определение: Средним квадратическим отклонением σ(Х) случайной величины Х называется квадратный корень из дисперсии:

Задача №2. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения:

Найти Р2, функцию распределения F(x) и построить ее график, а также M(X),D(X), σ(Х).

Решение: Так как сумма вероятностей возможных значений случайной величины Х равна 1, то

Р2=1- (0,1+0,3+0,2+0,3)=0,1

Найдем функцию распределения F(х)=P(X

Геометрически это равенство можно истолковать так: F(х) есть вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки х.

Если х≤-1, то F(х)=0, т. к. на (-∞;х) нет ни одного значения данной случайной величины;

Если -1<х≤0, то F(х)=Р(Х=-1)=0,1, т. к. в промежуток (-∞;х) попадает только одно значение x1=-1;

Если 0<х≤1, то F(х)=Р(Х=-1)+ Р(Х=0)=0,1+0,1=0,2, т. к. в промежуток

(-∞;х) попадают два значения x1=-1 и x2=0;

Если 1<х≤2, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)= 0,1+0,1+0,3=0,5, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают три значения x1=-1, x2=0 и x3=1;

Если 2<х≤3, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)+ Р(Х=2)= 0,1+0,1+0,3+0,2=0,7, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают четыре значения x1=-1, x2=0,x3=1 и х4=2;

Если х>3, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)+ Р(Х=2)+Р(Х=3)= 0,1+0,1+0,3+0,2+0,3=1, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают четыре значения x1=-1, x2=0,x3=1,х4=2 и х5=3.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image006_89.gif" width="14 height=2" height="2"> 0 при х≤-1,

0,1 при -1<х≤0,

0,2 при 0<х≤1,

F(x)= 0,5 при 1<х≤2,

0,7 при 2<х≤3,

1 при х>3

Изобразим функцию F(x)графически (рис.3):

https://pandia.ru/text/78/455/images/image014_24.jpg" width="158 height=29" height="29">≈1,2845.

§ 4. Биномиальный закон распределения

дискретной случайной величины, закон Пуассона.

Определение: Биномиальным называется закон распределения дискретной случайной величины Х - числа появлений события А в n независимых повторных испытаниях, в каждом из которых события А может наступить с вероятностью p или не наступить с вероятностью q=1-p. Тогда Р(Х=m)-вероятность появления события А ровно m раз в n испытаниях вычисляется по формуле Бернулли:

Р(Х=m)=Сmnpmqn-m

Математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х, распределенной по бинарному закону, находят, соответственно, по формулам:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image016_31.gif" width="26"> Вероятность события А - «выпадение пятерки» в каждом испытании одна и та же и равна 1/6, т. е. Р(А)=р=1/6, тогда Р(А)=1-p=q=5/6, где

- «выпадения не пятерки».

Случайная величина Х может принимать значения: 0;1;2;3.

Вероятность каждого из возможных значений Х найдем по формуле Бернулли:

Р(Х=0)=Р3(0)=С03р0q3=1 (1/6)0 (5/6)3=125/216;

Р(Х=1)=Р3(1)=С13р1q2=3 (1/6)1 (5/6)2=75/216;

Р(Х=2)=Р3(2)=С23р2q =3 (1/6)2 (5/6)1=15/216;

Р(Х=3)=Р3(3)=С33р3q0=1 (1/6)3 (5/6)0=1/216.

Т. о. закон распределения случайной величины Х имеет вид:

Контроль: 125/216+75/216+15/216+1/216=1.

Найдем числовые характеристики случайной величины Х:

M(X)=np=3 (1/6)=1/2,

D(X)=npq=3 (1/6) (5/6)=5/12,

Задача№4. Станок-автомат штампует детали. Вероятность того, что изготовленная деталь окажется бракованной равна 0,002. Найти вероятность того, что среди 1000 отобранных деталей окажется:

а) 5 бракованных;

б) хотя бы одна бракованная.

Решение: Число n=1000 велико, вероятность изготовления бракованной детали р=0,002 мала, и рассматриваемые события (деталь окажется бракованной) независимы, поэтому имеет место формула Пуассона:

Рn(m)= e - λ λm

Найдем λ=np=1000 0,002=2.

а)Найдем вероятность того, что будет 5 бракованных деталей (m=5):

Р1000(5)= e -2 25 = 32 0,13534 = 0,0361

б)Найдем вероятность того, что будет хотя бы одна бракованная деталь.

Событие А -«хотя бы одна из отобранных деталей бракованная» является противоположным событию -«все отобранные детали не бракованные».Следовательно, Р(А)=1-Р(). Отсюда искомая вероятность равна: Р(А)=1-Р1000(0)=1- e -2 20 = 1- e-2=1-0,13534≈0,865.

Задачи для самостоятельной работы.

1.1

1.2. Дисперсная случайная величина Х задана законом распределения:

Найти р4, функцию распределения F(X) и построить ее график, а также M(X),D(X), σ(Х).

1.3. В коробке 9 фломастеров, из которых 2 фломастера уже не пишут. Наудачу берут 3 фломастера. Случайная величина Х - число пишущих фломастеров среди взятых. Составить закон распределения случайной величины.

1.4. На стеллаже библиотеки в случайном порядке расставлено 6 учебников, причем 4 из них в переплете. Библиотекарь берет наудачу 4 учебника. Случайная величина Х-число учебников в переплете среди взятых. Составить закон распределения случайной величины.

1.5. В билете две задачи. Вероятность правильного решения первой задачи равна 0,9, второй-0,7. Случайная величина Х- число правильно решенных задач в билете. Составить закон распределения, вычислить математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины, а также найти функцию распределения F(x) и построить ее график.

1.6. Три стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,5, для второго-0,8, для третьего -0,7. Случайная величина Х - число попаданий в мишень, если стрелки делают по одному выстрелу. Найти закон распределения, M(X),D(X).

1.7. Баскетболист бросает мяч в корзину с вероятностью попадания при каждом броске 0,8. За каждое попадание он получает 10 очков, а в случае промаха очки ему не начисляют. Составить закон распределения случайной величины Х-числа очков, полученных баскетболистом за 3 броска. Найти M(X),D(X), а также вероятность того, что он получит более 10 очков.

1.8. На карточках написаны буквы, всего 5 гласных и 3 согласных. Наугад выбирают 3 карточки, причем каждый раз взятую карточку возвращают назад. Случайная величина Х-число гласных букв среди взятых. Составить закон распределения и найти M(X),D(X),σ(Х).

1.9. В среднем по 60% договоров страховая компания выплачивает страховые суммы в связи с наступлением страхового случая. Составить закон распределения случайной величины Х - числа договоров, по которым была выплачена страховая сумма среди наудачу отобранных четырех договоров. Найти числовые характеристики этой величины.

1.10. Радиостанция через определенные промежутки времени посылает позывные сигналы (не более четырех) до установления двусторонней связи. Вероятность получения ответа на позывной сигнал равна 0,3. Случайная величина Х-число посланных позывных сигналов. Составить закон распределения и найти F(x).

1.11. Имеется 3 ключа, из которых только один подходит к замку. Составить закон распределения случайной величины Х-числа попыток открывания замка, если испробованный ключ в последующих попытках не участвует. Найти M(X),D(X).

1.12. Производятся последовательные независимые испытания трех приборов на надежность. Каждый следующий прибор испытывается только в том случае, если предыдущий оказался надежным. Вероятность выдержать испытание для каждого прибора равна 0,9. Составить закон распределения случайной величины Х-числа испытанных приборов.

1.13 .Дискретная случайная величина Х имеет три возможные значения: х1=1, х2,х3, причем х1<х2<х3. Вероятность того, что Х примет значения х1 и х2, соответственно равны 0,3 и 0,2. Известно, что М(Х)=2,2, D(X)=0,76. Составить закон распределения случайной величины.

1.14. Блок электронного устройства содержит 100 одинаковых элементов. Вероятность отказа каждого элемента в течении времени Т равна 0,002. Элементы работают независимо. Найти вероятность того, что за время Т откажет не более двух элементов.

1.15. Учебник издан тиражом 50000 экземпляров. Вероятность того, что учебник сброшюрован неправильно, равна 0,0002. Найти вероятность того, что тираж содержит:

а) четыре бракованные книги,

б) менее двух бракованных книг.

1 .16. Число вызовов, поступающих на АТС каждую минуту, распределено по закону Пуассона с параметром λ=1,5. Найдите вероятность того, что за минуту поступит:

а) два вызова;

б)хотя бы один вызов.

1.17.

Найти M(Z),D(Z), если Z=3X+Y.

1.18. Даны законы распределения двух независимых случайных величин:

Найти M(Z),D(Z), если Z=X+2Y.

Ответы:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110">1.1. р3=0,4; 0 при х≤-2,

0,3 при -2<х≤0,

F(x)= 0,5 при 0<х≤2,

0,9 при 2<х≤5,

1 при х>5

1.2. р4=0,1; 0 при х≤-1,

0,3 при -1<х≤0,

0,4 при 0<х≤1,

F(x)= 0,6 при 1<х≤2,

0,7 при 2<х≤3,

1 при х>3

M(Х)=1; D(Х)=2,6; σ(Х) ≈1,612.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image025_24.gif" width="2 height=98" height="98"> 0 при х≤0,

0,03 при 0<х≤1,

F(x)= 0,37 при 1<х≤2,

1 при х>2

M(Х)=2; D(Х)=0,62

M(Х)=2,4; D(Х)=0,48, P(X>10)=0,896

1. 8 .

M(Х)=15/8; D(Х)=45/64; σ(Х) ≈

M(Х)=2,4; D(Х)=0,96

https://pandia.ru/text/78/455/images/image008_71.gif" width="14">1.11.

M(Х)=2; D(Х)=2/3

1.14. 1,22 e-0,2≈0,999

1.15. а)0,0189; б) 0,00049

1.16. а)0,0702; б)0,77687

1.17. 3,8; 14,2

1.18. 11,2; 4.

Глава 2. Непрерывная случайная величина

Определение: Непрерывной называют величину, все возможные значения которой полностью заполняют конечный или бесконечный промежуток числовой оси.

Очевидно, число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно.

Непрерывную случайную величину можно задавать с помощью функции распределения.

Определение: Функцией распределения непрерывной случайной величины Х называется функция F(х), определяющая для каждого значения хhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image028_11.jpg" width="14" height="13">R

Функцию распределения иногда называют интегральной функцией распределения.

Свойства функции распределения:

1)1≤ F(x) ≤1

2)У непрерывной случайной величины функция распределения непрерывна в любой точке и дифференцируема всюду, кроме, быть может, отдельных точек.

3) Вероятность попадания случайной величины Х в один из промежутков (а;b), [а;b), [а;b], равна разности значений функции F(х) в точках а и b, т.е. Р(а<Х

4)Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет одно отдельное значение равна 0.

5) F(-∞)=0, F(+∞)=1

Задание непрерывной случайной величины с помощью функции распределения не является единственным. Введем понятие плотности распределения вероятностей (плотность распределения).

Определение : Плотностью распределения вероятностей f ( x ) непрерывной случайной величины Х называется производная от ее функции распределения, т. е.:

Плотность распределения вероятностей иногда называют дифференциальной функцией распределения или дифференциальным законом распределения.

Графикплотности распределения вероятностей f(x) называется кривой распределения вероятностей .

Свойства плотности распределения вероятностей:

1)f(x) ≥0,при хhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image029_10.jpg" width="285" height="141">DIV_ADBLOCK92">

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38 src="> +∞ 2 6 +∞ 6 6

∫ f(x)dx=∫ 0dx+ ∫ c(х-2)dx +∫ 0dx= c∫ (х-2)dx=с(х2/2-2х) =с(36/2-12-(4/2-4))=8с;

б) Известно, что F(x)= ∫ f(x)dx

Поэтому, х

если х≤2, то F(x)= ∫ 0dx=0;

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38 src="> 2 6 х 6 6

если х>6, то F(x)= ∫ 0dx+∫ 1/8(х-2)dx+∫ 0dx=1/8∫(х-2)dx=1/8(х2/2-2х) =

1/8(36/2-12-(4/2+4))=1/8 8=1.

Таким образом,

0 при х≤2,

F(х)= (х-2)2/16 при 2<х≤6,

1 при х>6.

График функции F(х) изображен на рис.3

https://pandia.ru/text/78/455/images/image034_23.gif" width="14" height="62 src="> 0 при х≤0,

F(х)= (3 arctg х)/π при 0<х≤√3,

1 при х>√3.

Найти дифференциальную функцию распределения f(х)

Решение: Т. к.f(х)= F’(x), то

DIV_ADBLOCK93">

· Математическое ожидание М (Х) непрерывной случайной величины Х определяются равенством:

M(X)= ∫ x f(x)dx,

при условии, что этот интеграл сходится абсолютно.

· Дисперсия D ( X ) непрерывной случайной величины Х определяется равенством:

D(X)= ∫ (х-М(х)2) f(x)dx, или

D(X)= ∫ х2 f(x)dx - (М(х))2

· Среднее квадратическое отклонение σ(Х) непрерывной случайной величины определяется равенством:

Все свойства математического ожидания и дисперсии, рассмотренные ранее для дисперсных случайных величин, справедливы и для непрерывных.

Задача №3. Случайная величина Х задана дифференциальной функцией f(x):

https://pandia.ru/text/78/455/images/image036_19.gif" height="38"> -∞ 2

X3/9 + х2/6 = 8/9-0+9/6-4/6=31/18,

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38"> +∞

D(X)= ∫ х2 f(x)dx-(М(х))2=∫ х2 х/3 dx+∫1/3х2 dx=(31/18)2=х4/12 +х3/9 -

- (31/18)2=16/12-0+27/9-8/9-(31/18)2=31/9- (31/18)2==31/9(1-31/36)=155/324,

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38">

P(1<х<5)= ∫ f(x)dx=∫ х/3 dx+∫ 1/3 dx+∫ 0 dx= х2/6 +1/3х =

4/6-1/6+1-2/3=5/6.

Задачи для самостоятельного решения.

2.1. Непрерывная случайная величина Х задана функцией распределения:

0 при х≤0,

F(х)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 при х≤ π/6,

F(х)= - cos 3x при π/6<х≤ π/3,

1 при х> π/3.

Найти дифференциальную функцию распределения f (x), а также

Р(2π /9<Х< π /2).

2.3.

0 при х≤2,

f(х)= с х при 2<х≤4,

0 при х>4.

2.4. Непрерывная случайная величина Х задана плотностью распределения:

0 при х≤0,

f(х)= с √х при 0<х≤1,

0 при х>1.

Найти: а) число с; б) М(Х), D(X).

2.5.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image041_3.jpg" width="36" height="39"> при х,

0 при х .

Найти: а) F(х) и построить ее график; б) M(X),D(X), σ(Х); в) вероятность того, что в четырех независимых испытаниях величина Х примет ровно 2 раза значение, принадлежащее интервалу (1;4).

2.6. Задана плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х:

f(х)= 2(х-2) при х,

0 при х .

Найти: а) F(х) и построить ее график; б) M(X),D(X), σ (Х); в) вероятность того, что в трех независимых испытаниях величина Х примет ровно 2 раза значение, принадлежащее отрезку .

2.7. Функция f(х) задана в виде:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image045_4.jpg" width="43" height="38 src=">.jpg" width="16" height="15">[-√3/2 ; √3/2].

2.8. Функция f(x) задана в виде:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image046_5.jpg" width="45" height="36 src="> .jpg" width="16" height="15">[- π /4 ; π /4].

Найти: а) значение постоянной с, при которой функция будет плотностью вероятности некоторой случайной величины Х; б) функцию распределения F(x).

2.9. Случайная величина Х, сосредоточенная на интервале (3;7), задана функцией распределения F(х)= . Найти вероятность того, что

случайная величина Х примет значение: а) меньше 5, б) не меньше 7.

2.10. Случайная величина Х, сосредоточенная на интервале (-1;4),

задана функцией распределения F(х)= . Найти вероятность того, что

случайная величина Х примет значение: а) меньше 2, б) не меньше 4.

2.11.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image049_6.jpg" width="43" height="44 src="> .jpg" width="16" height="15">.

Найти: а) число с; б) М(Х); в) вероятность Р(Х> М(Х)).

2.12. Случайная величина задана дифференциальной функцией распределения:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image050_3.jpg" width="60" height="38 src=">.jpg" width="16 height=15" height="15">.

Найти: а) М(Х); б) вероятность Р(Х≤М(Х))

2.13. Распределение Ремя задается плотностью вероятности:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image052_5.jpg" width="46" height="37"> при х ≥0.

Доказать, что f(x) действительно является плотностью распределения вероятностей.

2.14. Задана плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х:

DIV_ADBLOCK96">

https://pandia.ru/text/78/455/images/image055_3.jpg" width="187 height=136" height="136">(рис.5)

2.16. Случайная величина Х распределена по закону «прямоугольного треугольника» в интервале (0;4) (рис.5). Найти аналитическое выражение для плотности вероятности f(x) на всей числовой оси.

Ответы

0 при х≤0,

f(х)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 при х≤ π/6,

F(х)= 3sin 3x при π/6<х≤ π/3, Непрерывная случайная величина Х имеет равномерный закон распределения на некотором интервале (а;b), которому принадлежат все возможные значения Х, если плотность распределения вероятностей f(x) постоянная на этом интервале и равна 0 вне его, т. е.

0 при х≤а,

f(х)= при a<х

0 при х≥b.

График функции f(x) изображен на рис. 1

https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 при х≤а,

F(х)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image077_3.jpg" width="30" height="37">, D(X)=, σ(Х)=.

Задача№1. Случайная величина Х равномерно распределена на отрезке . Найти:

а) плотность распределения вероятностей f(x) и построить ее график;

б) функцию распределения F(x) и построить ее график;

в) M(X),D(X), σ(Х).

Решение: Воспользовавшись формулами, рассмотренными выше, при а=3, b=7, находим:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image081_2.jpg" width="22" height="39"> при 3≤х≤7,

0 при х>7

Построим ее график (рис.3):

https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86 src="> 0 при х≤3,

F(х)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image084_3.jpg" width="203" height="119 src=">рис.4

D(X) = ==https://pandia.ru/text/78/455/images/image089_1.jpg" width="37" height="43">==https://pandia.ru/text/78/455/images/image092_10.gif" width="14" height="49 src="> 0 при х<0,

f(х)= λе-λх при х≥0.

Функция распределения случайной величины Х, распределенной по показательному закону, задается формулой:

DIV_ADBLOCK98">

https://pandia.ru/text/78/455/images/image095_4.jpg" width="161" height="119 src="> рис.6

Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение показательного распределения соответственно равны:

M(X)= , D(X)=, σ (Х)=

Таким образом, математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение показательного распределения равны между собой.

Вероятность попадания Х в интервал (a;b) вычисляется по формуле:

Р(a<Х

Задача №2. Среднее время безотказной работы прибора равно 100 ч. Полагая, что время безотказной работы прибора имеет показательный закон распределения, найти:

а) плотность распределения вероятностей;

б) функцию распределения;

в) вероятность того, что время безотказной работы прибора превысит 120 ч.

Решение: По условию математическое распределение M(X)=https://pandia.ru/text/78/455/images/image098_10.gif" height="43 src="> 0 при х<0,

а) f(х)= 0,01е -0,01х при х≥0.

б) F(x)= 0 при х<0,

1- е -0,01х при х≥0.

в) Искомую вероятность найдем, используя функцию распределения:

Р(X>120)=1-F(120)=1-(1- е -1,2)= е -1,2≈0,3.

§ 3.Нормальный закон распределения

Определение: Непрерывная случайная величина Х имеет нормальный закон распределения (закон Гаусса), если ее плотность распределения имеет вид:

,

где m=M(X), σ2=D(X), σ>0.

Кривую нормального закона распределения называют нормальной или гауссовой кривой (рис.7)

Нормальная кривая симметрична относительно прямой х=m, имеет максимум в т. х=а, равный .

Функция распределения случайной величины Х, распределенной по нормальному закону, выражается через функцию Лапласа Ф (х) по формуле:

,

где - функция Лапласа.

Замечание: Функция Ф(х) является нечетной (Ф(-х)=-Ф(х)), кроме того, при х>5 можно считать Ф(х) ≈1/2.

График функции распределения F(x) изображен на рис. 8

https://pandia.ru/text/78/455/images/image106_4.jpg" width="218" height="33">

Вероятность того, что абсолютная величина отклонения меньше положительного числа δ вычисляется по формуле:

В частности, при m=0 справедливо равенство:

«Правило трех сигм»

Если случайная величина Х имеет нормальный закон распределения с параметрами m и σ, то практически достоверно, что ее значение заключены в интервале (a-3σ; a+3σ), т. к.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image110_2.jpg" width="157" height="57 src=">а)

б) Воспользуемся формулой:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image112_2.jpg" width="369" height="38 src=">

По таблице значений функции Ф(х) находим Ф(1,5)=0,4332, Ф(1)=0,3413.

Итак, искомая вероятность:

P(28

Задачи для самостоятельной работы

3.1. Случайная величина Х равномерно распределена в интервале (-3;5). Найдите:

б)функции распределения F(x);

в)числовые характеристики;

г)вероятность Р(4<х<6).

3.2. Случайная величина Х равномерно распределена на отрезке . Найдите:

а) плотность распределения f(x);

б)функции распределения F(x);

в)числовые характеристики;

г)вероятность Р(3≤х≤6).

3.3. На шоссе установлен автоматический светофор, в котором 2 минуты для транспорта горит зеленый свет, 3 секунды желтый и 30 секунд красный и т. д. Машина проезжает по шоссе в случайный момент времени. Найти вероятность того, что машина проедет мимо светофора, не останавливаясь.

3.4. Поезда метрополитена идут регулярно с интервалом 2 минуты. Пассажир выходит на платформу в случайный момент времени. Какова вероятность того, что ждать поезд пассажиру придется больше 50 секунд. Найти математическое ожидание случайной величины Х - время ожидания поезда.

3.5. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение показательного распределения, заданного функцией распределения:

F(x)= 0 при х<0,

1-е-8х при х≥0.

3.6. Непрерывная случайная величина Х задана плотностью распределения вероятностей:

f(x)= 0 при х<0,

0,7 е-0,7х при х≥0.

а) Назовите закон распределения рассматриваемой случайной величины.

б) Найдите функцию распределения F(X) и числовые характеристики случайной величины Х.

3.7. Случайная величина Х распределена по показательному закону, заданному плотностью распределения вероятностей:

f(x)= 0 при х<0,

0,4 е-0,4 х при х≥0.

Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение из интервала (2,5;5).

3.8. Непрерывная случайная величина Х распределена по показательному закону, заданному функцией распределения:

F(x)= 0 при х<0,

1-е-0,6х при х≥0

Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение из отрезка .

3.9. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины соответственно равны 8 и 2. Найдите:

а) плотность распределения f(x);

б) вероятность того, что в результате испытания Х примет значение из интервала (10;14).

3.10. Случайная величина Х распределена нормально с математическим ожиданием 3,5 и дисперсией 0,04. Найдите:

а) плотность распределения f(x);

б) вероятность того, что в результате испытания Х примет значение из отрезка .

3.11. Случайная величина Х распределена нормально с M(X)=0 и D(X)=1. Какое из событий: |Х|≤0,6 или |Х|≥0,6 имеет большую вероятность?

3.12. Случайная величина Х распределена нормально с M(X)=0 и D(X)=1.Из какого интервала (-0,5;-0,1) или (1;2) при одном испытании она примет значение с большей вероятностью?

3.13. Текущая цена за одну акцию может быть смоделирована с помощью нормального закона распределения с M(X)=10ден. ед. и σ (Х)=0,3 ден. ед. Найти:

а) вероятность того, что текущая цена акции будет от 9,8 ден. ед. до 10,4 ден. ед.;

б)с помощью «правила трех сигм» найти границы, в которых будет находится текущая цена акции.

3.14. Производится взвешивание вещества без систематических ошибок. Случайные ошибки взвешивания подчинены нормальному закону со средним квадратическим отношением σ=5г. Найти вероятность того, что в четырех независимых опытах ошибка при трех взвешиваниях не произойдет по абсолютной величине 3г.

3.15. Случайная величина Х распределена нормально с M(X)=12,6. Вероятность попадания случайной величины в интервал (11,4;13,8) равна 0,6826. Найдите среднее квадратическое отклонение σ.

3.16. Случайная величина Х распределена нормально с M(X)=12 и D(X)=36.Найти интервал, в который с вероятностью 0,9973 попадет в результате испытания случайная величина Х.

3.17. Деталь, изготовленная автоматом, считается бракованной, если отклонение Х ее контролируемого параметра от номинала превышает по модулю 2 единицы измерения . Предполагается, что случайная величина Х распределена нормально с M(X)=0 и σ(Х)=0,7. Сколько процентов бракованных деталей выдает автомат?

3.18. Параметр Х детали распределен нормально с математическим ожиданием 2, равным номиналу, и средним квадратическим отклонением 0,014. Найти вероятность того, что отклонение Х от номинала по модулю не превысит 1% номинала.

Ответы

https://pandia.ru/text/78/455/images/image116_9.gif" width="14" height="110 src=">

б) 0 при х≤-3,

F(х)= left">

3.10. а)f(x)= ,

б) Р(3,1≤Х≤3,7) ≈0,8185.

3.11. |x|≥0,6.

3.12. (-0,5;-0,1).

3.13. а) Р(9,8≤Х≤10,4) ≈0,6562.

3.14. 0,111.

3.15. σ=1,2.

3.16. (-6;30).

3.17. 0,4%.

Примеры решения задач на тему «Случайные величины».

Задача 1 . В лотерее выпущено 100 билетов. Разыгрывался один выигрыш в 50 у.е. и десять выигрышей по 10 у.е. Найти закон распределения величины X – стоимости возможного выигрыша.

Решение. Возможные значения величины X: x 1 = 0; x 2 = 10 и x 3 = 50. Так как «пустых» билетов – 89, то p 1 = 0,89, вероятность выигрыша 10 у.е. (10 билетов) – p 2 = 0,10 и для выигрыша 50 у.е. – p 3 = 0,01. Таким образом:

Легко проконтролировать: .

Задача 2. Вероятность того, что покупатель ознакомился заранее с рекламой товара равна 0,6 (р=0,6 ). Осуществляется выборочный контроль качества рекламы путем опроса покупателей до первого, изучившего рекламу заранее. Составить ряд распределения количества опрошенных покупателей.

Решение. Согласно условию задачи р = 0,6. Откуда: q=1 -p = 0,4. Подставив данные значения, получим: и построим ряд распределения:

Задача 3. Компьютер состоит из трех независимо работающих элементов: системного блока, монитора и клавиатуры. При однократном резком повышении напряжения вероятность отказа каждого элемента равна 0,1. Исходя из распределения Бернулли составить закон распределения числа отказавших элементов при скачке напряжения в сети.

Решение. Рассмотрим распределение Бернулли (или биномиальное): вероятность того, что в n испытаниях событие А появится ровно k раз: , или:

В ернёмся к задаче.

Возможные значения величины X (число отказов):

x 0 =0 – ни один из элементов не отказал;

x 1 =1 – отказ одного элемента;

x 2 =2 – отказ двух элементов;

x 3 =3 – отказ всех элементов.

Так как, по условию, p = 0,1, то q = 1 – p = 0,9. Используя формулу Бернулли, получим

, ,

, .

Контроль: .

Следовательно, искомый закон распределения:

Задача 4 . Произведено 5000 патронов. Вероятность того, что один патрон бракованный . Какова вероятность того, что во всей партии будет ровно 3 бракованных патрона?

Решение. Применим распределение Пуассона : это распределение используется для определения вероятности того, что при очень большом

количестве испытаний (массовые испытания), в каждом из которых вероятность события A очень мала, событие A наступитk раз: , где .

Здесь n = 5000, p = 0,0002, k = 3. Находим , тогда искомая вероятность: .

Задача 5 . При стрельбе до первого попадания с вероятностью попадания p = 0,6 при выстреле надо найти вероятность того, что попадание произойдет при третьем выстреле.

Решение. Применим геометрическое распределение: пусть производятся независимые испытания, в каждом из которых событие A имеет вероятность появления p (и непоявления q = 1 – p). Испытания заканчиваются, как только произойдет событие A.

При таких условиях вероятность того, что событие A произойдет на k-ом испытании, определяется по формуле: . Здесь p = 0,6; q = 1 – 0,6 = 0,4;k = 3. Следовательно, .

Задача 6 . Пусть задан закон распределения случайной величины X:

Найти математическое ожидание.

Решение. .

Заметим, что вероятностный смысл математического ожидания – это среднее значение случайной величины.

Задача 7 . Найти дисперсию случайной величины X со следующим законом распределения:

Решение. Здесь .

Закон распределения квадрата величины X 2 :

Искомая дисперсия: .

Дисперсия характеризует меру отклонения (рассеяния) случайной величины от её математического ожидания.

Задача 8 . Пусть случайная величина задается распределением:

Найти её числовые характеристики.

Решение: м, м 2 ,

М 2 , м.

Про случайную величину X можно сказать либо – ее математическое ожидание 6,4 м с дисперсией 13,04 м 2 , либо – ее математическое ожидание 6,4 м с отклонением м. Вторая формулировка, очевидно, нагляднее.

Задача 9. Случайная величина X задана функцией распределения:
.

Найти вероятность того, что в результате испытания величина X примет значение, заключенное в интервале .

Решение. Вероятность того, что X примет значение из заданного интервала, равно приращению интегральной функции в этом интервале, т.е. . В нашем случае и , поэтому

.

Задача 10. Дискретная случайная величина X задана законом распределения:

Найти функцию распределения F (x ) и построить ее график.

Решение. Так как функция распределения,

для , то

при ;

при ;

при ;

при ;

Соответствующий график:

Задача 11. Непрерывная случайная величина X задана дифференциальной функцией распределения: .

Найти вероятность попадания X в интервал

Решение. Заметим, что это частный случай показательного закона распределения.

Воспользуемся формулой: .

Задача 12. Найти числовые характеристики дискретной случайной величины X, заданной законом распределения: